Pęd w ujęciu mechaniki relatywistycznej

Zgodnie z mechaniką klasyczną wielkość fizyczna nazywana pędem jest wyrażona jako iloczyn masy i prędkości danego ciała. Jak pewnie pamiętasz z pojęciem pędu związana jest jedna z bardzo istotnych zasad w fizyce – zasada zachowania pędu – służąca do opisu wielu zjawisk fizycznych np. zderzeń pomiędzy kilkoma cząstkami. Wyobraźmy sobie, że dwaj obserwatorzy związani z różnymi układami odniesienia badają sprężyste zderzenie dwóch cząstek. W ujęciu fizyki nierelatywistycznej każdy z obserwatorów zarejestruje różne prędkości zderzających się cząstek, jednak każdy z nich stwierdzi, że zasada zachowania pędu będzie spełniona, ściślej: wartość pędu przed zderzeniem będzie taka sama jak po zderzeniu. A jak sytuacja ta przedstawia się w przypadku mechaniki relatywistycznej?

Pęd – ujęcie klasyczne

Możemy domyślać się, że jeżeli pęd będzie nadal zdefiniowany poniższym wzorem:

$$\vec{p} = m \hspace{.05cm} \vec{V}$$

to w ujęciu mechaniki relatywistycznej zasada zachowania pędu nie będzie spełniona. Czy oznacza to, że w przypadku dużych prędkości należy zrezygnować z zasady zachowania pędu? Nie! Zasada zachowania pędu jest uniwersalną zasadą przyrody obowiązującą zarówno w przypadku ciał poruszających się z małymi, jak i dużymi prędkościami. Jednakże w przypadku tych ostatnich, koniecznym jest zmodyfikowanie wzoru opisującego pęd ciała, aby zasada ta nadal obowiązywała.

Wyobraźmy sobie sytuację podobną do tej, którą opisaliśmy powyżej i skupmy się na jednej z cząstek np. poruszającej się w dodatnim kierunku osi x. Dodatkowo, załóżmy, że jeden z obserwatorów porusza się w tym samym kierunku i z taka samą prędkością co cząstka, natomiast drugi z obserwatorów spoczywa, przyglądając się z boku zachodzącym zdarzeniom. Zdaniem obserwatora poruszającego się wraz z cząstką, jej pęd wynosi:

$$p = m \hspace{.05cm} \frac{\Delta \hspace{.03cm} x}{\Delta \hspace{.03cm} t_0}$$

gdzie Δx  jest odległością przebytą przez cząstkę w czasie Δt₀ zmierzonym przez obserwatora.

Zwróć uwagę, że czas zmierzony przez obserwatora jest zarazem czasem własnym cząstki, ponieważ ta spoczywa względem niego (w powyższym wzorze skorzystaliśmy z definicji prędkości w ruchu jednostajnym prostoliniowym). Po przemnożeniu prawej strony powyższego równania przez wielkość Δt  / Δt  i skorzystaniu z wyrażenia opisującego dylatację czasu:

$$\Delta \hspace{.03cm} t = \frac{\Delta \hspace{.03cm} t_0}{\sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{V}{c} \right)^2}}$$

otrzymamy:

$$p = m \hspace{.05cm} \frac{\Delta \hspace{.03cm} x}{\Delta \hspace{.03cm} t_0} \cdot \frac{\Delta \hspace{.03cm} t}{\Delta \hspace{.03cm} t} = \frac{m}{\sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{V}{c} \right)^2}} \hspace{.05cm} \frac{\Delta \hspace{.03cm} x}{\Delta \hspace{.03cm} t}$$

Pęd – ujęcie relatywistyczne

Iloraz Δx  / Δt  to oczywiście wyrażenie opisujące prędkość cząstki V, w związku z czym ostateczny wzór na pęd przyjmie następującą postać:

$$p = \frac{m \hspace{.05cm} V}{\sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{V}{c} \right)^2}} = \gamma \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} V$$

gdzie γ  to współczynnik Lorentza.

Powyższy wzór, różniący się od klasycznego wzoru współczynnikiem Lorentza γ, jest słuszny zarówno w przypadku obiektów poruszających się z małymi, jak i z dużymi (bliskimi prędkości światła c ) prędkościami. Zauważ, że gdy V  będzie dużo mniejsze od c  (V  ≪ c ) otrzymamy dobrze znane wyrażenie na pęd będące iloczynem masy i prędkości poruszającego się ciała (wzoru od którego zaczęliśmy nasze rozważania). Z kolei, gdy V  będzie bardzo bliskie prędkości c, wartość pędu będzie dążyć do nieskończoności – wynik ten jest zgodny z jednym z założeń szczególnej teorii względności głoszącym, że żadne ciało posiadające masę nie może osiągnąć prędkości światła, niezależnie od tego, jak długo byłoby przyspieszane.