Pęd

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona źródłem przyspieszenia ciała, o masie różnej od zera, jest stała siła lub wypadkowa sił działająca na to ciało. Skutkiem działania tej siły jest zmiana prędkości ciała, zachodząca w sposób liniowy (zobacz wykres V (t )  dla ruchu jednostajnie przyspieszonego). Wielkością fizyczną związaną z masą i prędkością ciała, informującą o „ilości” jego ruchu, jest pęd, oznaczany małą literą p.

Pęd – definicja

Pęd jest wielkością wektorową zdefiniowaną następująco:

$$\vec{p} = m \hspace{.1cm} \vec{V}$$

Masa ciała jest zawsze dodatnia, dlatego wektory $\vec{p}$  i $\vec{V}$  mają zawsze taki sam kierunek i zwrot. Jednostką pędu jest:

$$[p] = \textrm{kg} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$

Pęd układu n ciał

Układ składający się z n ciał o pewnych wartościach masy, prędkości i tym samym pędu, posiada całkowity pęd  $\vec{p}_c$  będący sumą wektorową pędów poszczególnych ciał wchodzących w skład tego układu:

$$\vec{p}_c = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + … + \vec{p}_n = m_1 \hspace{.05cm} \vec{V}_1 + m_2 \hspace{.05cm} \vec{V}_2 + … + m_n \hspace{.05cm} \vec{V}_n$$

Zamiast rozpatrywać ruchy wszystkich ciał wchodzących w skład danego układu możemy poddać analizie tylko i wyłącznie ruch środka masy układu. Ruch środka masy, zachodzący z prędkością V_sm , jest taki sam, jak ruch cząstki o masie M równej sumie mas wszystkich ciał układu. W związku z powyższym całkowity pęd układu n ciał możemy obliczyć na podstawie poniższego wzoru:

$$\vec{p}_c = M \hspace{.05cm} \vec{V}_{sm}$$

Pęd a druga zasada dynamiki Newtona

Gdy na ciało o masie m  działa stała siła $\vec{F}$, ciało doznaje przyspieszenia $\vec{a}$  o stałej wartości, czego skutkiem jest zmiana prędkości ciała z $\vec{V}_1$ na $\vec{V}_2$. Wraz ze zmianą prędkości $\Delta \vec{V} = \vec{V}_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} \vec{V}_1$ zmianie ulega także pęd ciała:

$$\Delta \hspace{.05cm} \vec{p} = \vec{p}_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \vec{p}_1 = m \hspace{.05cm} \vec{V}_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m \hspace{.05cm} \vec{V}_1 = m \hspace{.05cm} \Delta \vec{V}$$

gdzie $\vec{p}_2$ to pęd ciała poruszającego się z prędkością $\vec{V}_2$,  $\vec{p}_1$ – pęd ciała poruszającego się z prędkością $\vec{V}_1$.

Ponieważ zgodnie z definicją przyspieszenia:

$$\vec{a} = \frac{\vec{V}_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \vec{V}_1}{t_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} t_1} = \frac{\Delta \vec{V}}{\Delta t}$$

dlatego wzór opisujący drugą zasadę dynamiki Newtona możemy zapisać jako:

$$\vec{F}_{wyp} = m \hspace{.1cm} \vec{a} = m \hspace{.05cm} \frac{\Delta \hspace{.05cm} \vec{V}}{\Delta \hspace{.05cm} t} = \frac{\Delta \hspace{.05cm} \vec{p}}{\Delta \hspace{.05cm} t}$$

Gdy w miejsce $\Delta \vec{p}$  wstawimy wielkość $\Delta \vec{p}_c$  otrzymamy zależność wiążącą siłę wypadkową $\vec{F}_{wyp}$  z całkowitym pędem układu n ciał:

$$\vec{F}_{wyp} = \frac{\Delta \hspace{.05cm} \vec{p}_c}{\Delta \hspace{.05cm} t}$$