Zasada zachowania pędu

Zasada zachowania pędu, podobnie jak zasada zachowania energii, to jedno z najważniejszych praw rządzących światem przyrody. Zasada ta pozwala wyjaśnić m.in. zjawisko odrzutu występujące podczas wystrzału kuli armatniej, czy też serii pocisków wystrzelonych z karabinu maszynowego.

Wyobraźmy sobie układ kilku ciał znajdujących się w pewnym pomieszczeniu. Załóżmy następnie, że układ ten jest układem izolowanym tj. układem nie wymieniającym masy z otoczeniem, w którym wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ ciał jest równa zero. Zasada zachowania pędu dla tak zdefiniowanego układu brzmi następująco:

Zasada zachowania pędu – definicja

Matematyczny zapis zasady zachowania pędu przedstawiają poniższe wyrażenia:

$$\vec{p}_c = \textrm{constans}$$

lub:

$$\vec{p}_{cp} = \vec{p}_{ck}$$

gdzie:
$\vec{p}_{cp}$ – początkowy całkowity pęd układu ciał,
$\vec{p}_{ck}$ – końcowy całkowity pęd układu ciał.

Zasada zachowania pędu – przykład

W układzie izolowanym spoczywa pojemnik wypełniony materiałem wybuchowym. Masa pustego pojemnika m  = 8 kg. Wskutek eksplozji materiału wybuchowego pojemnik rozpada się na dwie części. Jedna z nich o masie m₁ = 3 kg porusza się w dodatnim kierunku osi x z prędkością V₁ = 6 m/s. Oblicz, z jaką prędkością oraz w jakim kierunku porusza się druga część tego pojemnika.

Układ jest izolowany, a więc na pojemnik nie działa żadna siła zewnętrzna ($\vec{F}_{wyp} = 0$). Dodatkowo, siły działające na pojemnik podczas eksplozji są siłami wewnętrznymi, w związku z czym nie mogą spowodować zmiany całkowitego pędu pojemnika. Wniosek: całkowity pęd pojemnika przed i po wybuchu materiału wybuchowego nie ulega zmianie.

Aby obliczyć prędkość drugiej części pojemnika skorzystamy z poniższego wzoru:

$$\vec{p}_{cp} = \vec{p}_{ck}$$

gdzie:
$\vec{p}_{cp}$ – całkowity pęd pojemnika przed eksplozją,
$\vec{p}_{ck}$ – całkowity pęd pojemnika po eksplozji.

Wiemy, że pojemnik początkowo znajdował się w spoczynku (V  = 0 m/s), dlatego:

$$\vec{p}_{cp} = 0$$

Całkowity pęd pojemnika po wybuchu jest równy sumie wektorowej pędów obydwu części, na które rozpadł się pojemnik:

$$\vec{p}_{ck} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = m_1 \hspace{.05cm} \vec{V}_1 + m_2 \hspace{.05cm} \vec{V}_2$$

gdzie:
$\vec{p}_1, m_1, \vec{V}_1$ – pęd, masa oraz prędkość pierwszej części pojemnika,
$\vec{p}_2, m_2, \vec{V}_2$ – pęd, masa oraz prędkość drugiej części pojemnika.

Po wstawieniu powyższych wzorów do równania  $\vec{p}_{cp} = \vec{p}_{ck}$, otrzymamy:

$$0 = m_1 \hspace{.05cm} \vec{V}_1 + m_2 \hspace{.05cm} \vec{V}_2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} m_1 \hspace{.05cm} \vec{V}_1 = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} m_2 \hspace{.05cm} \vec{V}_2$$

Masa m₁ oraz prędkość V₁ pierwszej części pojemnika są znane. Masa drugiej części pojemnika nie jest podana w treści zadania. Wiemy jednak, że m₁ + m₂ = m, zatem:

$$m_2 = m \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} m_1 = 8 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 3 \hspace{.05cm} \textrm{kg} = 5 \hspace{.05cm} \textrm{kg}$$

Pozostaje nam teraz obliczenie wartości prędkości $\vec{V}_2$ :

$$m_1 \hspace{.05cm} V_1 = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} m_2 \hspace{.05cm} V_2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} V_2 = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{m_1 \hspace{.05cm} V_1}{V_2} = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{3 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 6 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{5 \hspace{.05cm} \textrm{kg}} = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 3,\hspace{-.1cm}6 \hspace{.0cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$

Znak '-' w powyższym wzorze oznacza, że druga część pojemnika porusza się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu pierwszej części pojemnika. Sytuację tę przedstawia poniższy rysunek: