Środek masy

Aby opisać nawet najbardziej złożone zjawiska fizyczne fizycy często korzystają z pewnych uproszczeń oraz, o ile występują, odniesień do zjawisk już wcześniej poznanych. Jednym z takich uproszczeń jest traktowanie ruchu postępowego ciała tj. ruchu odbywającego się wzdłuż linii prostej z prędkością V  (np. jazda na łyżwach po lodowisku), jak ruchu pojedynczej cząstki – ruch cząstki odzwierciedla wówczas ruch całego ciała. Gdybyśmy chcieli jednak opisać bardziej złożone ruchy ciała np. ruch młotka wyrzuconego pod pewnym kątem do poziomu (zobacz poniższy rysunek), będziemy musieli skorzystać z innego uproszczenia: środka masy ciała lub układu ciał.

Środek masy – definicja

Zamiast rozpatrywać poszczególne ruchy ciała lub układu ciał wystarczy rozważyć ruch tylko jednego punktu – środka masy ciała (układu ciał).

Poniżej znajdziesz informacje dotyczące sposobu wyznaczania środka masy dla układu kilku cząstek oraz dla ciał rozciągłych, składających się z bardzo dużej liczby cząstek.

Środek masy układu dwóch cząstek

Rozważmy układ dwóch cząstek o masach m₁ i m₂ oddalonych od siebie o wielkość l. Oś x  przechodzi przez środek obydwu cząstek. Zakładamy ponadto, że m₁ > m₂ oraz, że cząstka o masie m₁ znajduje się w odległości x₁, a cząstka m₂ w odległości x₂ od początku osi x (ozn. „0”).

Wyrażenie pozwalające obliczyć położenie środka masy x_sm  układu tych dwóch cząstek przedstawia się następująco:

$$x_{sm} = \frac{m_1 \hspace{.05cm} x_1 + m_2 \hspace{.05cm} x_2}{m_1 + m_2}$$

Aby sprawdzić słuszność powyższego wzoru załóżmy, że m₁ = 0. Mamy wówczas: $x_{sm} = \dfrac{m_2 x_2}{m_2} = x_2$, co jest zgodne z naszymi założeniami. Dla m₂ = 0 otrzymamy zgodnie z oczekiwaniami $x_{sm} = \dfrac{m_1 x_1}{m_1} = x_1$. W końcu, gdy m₁ ≠ m₂ ≠ 0, czyli tak jak w sytuacji przedstawionej na powyższym rysunku, środek masy x_sm  układu może przyjmować wartości od x₁ do x₂, a więc musi leżeć gdzieś pomiędzy cząstkami.

Jeżeli w powyższym wzorze sumę mas cząstek m₁ + m₂ zastąpimy wielkością M  oznaczającą całkowitą masę cząstek, dostaniemy:

$$x_{sm} = \frac{m_1 \hspace{.05cm} x_1 + m_2 \hspace{.05cm} x_2}{M}$$

Środek masy układu n  cząstek

Dla układu składającego się z n  cząstek położenie środka masy układu wyznaczymy z poniższego wzoru:

$$x_{sm} = \frac{m_1 \hspace{.05cm} x_1 + m_2 \hspace{.05cm} x_2 + … + m_n \hspace{.05cm} x_n}{m_1 + m_2 + … + m_n} = \frac{1}{M} \hspace{.05cm} \sum\limits_{i = 1}^{n} \hspace{.05cm} m_i \hspace{.05cm} x_i$$

gdzie i  jest znacznikiem przyjmującym wartości od 1 do n  numerującym poszczególne cząstki układu.

W ogólności, gdy cząstki znajdują się w trójwymiarowym układzie współrzędnych xyz, środek masy układu cząstek posiada trzy współrzędne x_sm, y_sm  i z_sm :

$$x_{sm} = \frac{1}{M} \hspace{.05cm} \sum\limits_{i = 1}^{n} \hspace{.05cm} m_i \hspace{.05cm} x_i \hspace{2cm} y_{sm} = \frac{1}{M} \hspace{.05cm} \sum\limits_{i = 1}^{n} \hspace{.05cm} m_i \hspace{.05cm} y_i \hspace{2cm} z_{sm} = \frac{1}{M} \hspace{.05cm} \sum\limits_{i = 1}^{n} \hspace{.05cm} m_i \hspace{.05cm} z_i$$

Powyższe równania możemy zapisać w postaci równania wektorowego:

$$\vec{r}_{sm} = \frac{1}{M} \hspace{.05cm} \sum\limits_{i = 1}^{n} \hspace{.05cm} m_i \hspace{.05cm} \vec{r}_i$$

gdzie  $\vec{r_i}$  to wektor położenia i-tej cząstki równy:

$$\vec{r}_i = x_i \hspace{.05cm} \hat{i} + y_i \hspace{.05cm} \hat{j} + z_i \hspace{.05cm} \hat{k}$$

gdzie $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$  to wektory jednostkowe związane odpowiednio z osią x, osią y  i osią z.

Środek masy ciała rozciągłego (układu bardzo wielu cząstek)

Przedmioty codziennego użytku składają się z ogromnej liczby cząstek, dlatego aby wyznaczyć współrzędne położenia środka masy tych ciał musimy zastosować zupełnie inne podejście, niż to, które podaliśmy wyżej. Jeżeli założymy, że ciało, dla którego chcemy obliczyć położenie środka masy, jest ciałem jednorodnym tj. składa się tylko i wyłącznie z atomów (cząstek) tego samego rodzaju, współrzędne środka masy opisują poniższe równania:

$$x_{sm} = \frac{1}{V} \hspace{.05cm} \int x \hspace{.05cm} dV \hspace{2cm} y_{sm} = \frac{1}{V} \hspace{.05cm} \int y \hspace{.05cm} dV \hspace{2cm} z_{sm} = \frac{1}{V} \hspace{.05cm} \int z \hspace{.05cm} dV$$

gdzie:
V  – całkowita objętość ciała,
dV  – objętość elementu ciała o masie dm.