Względność prędkości

W artykule Transformacja Lorentza zdefiniowaliśmy wzajemne zależności zachodzące pomiędzy współrzędnymi czasoprzestrzennymi dla dwóch układów odniesienia, z których jeden poruszał się względem drugiego ze stałą prędkością V. Obecnie skorzystamy z tych zależności, aby dowiedzieć się jakie prędkości zmierzą dwaj obserwatorzy badający ruch tego samego obiektu względem dwóch różnych inercjalnych układów odniesienia.

Załóżmy, że badany obiekt porusza się wzdłuż osi x  i x’  związanych odpowiednio z układem odniesienia W  i W’  (zobacz rysunek). W pewnym momencie obserwatorzy widzą dwa błyski świetlne emitowane przez obiekt, dla których dokonują pomiarów odległości przestrzennej oraz odstępu czasu.

Relatywistyczna transformacja prędkości

Relacje zachodzące pomiędzy pomiarami wykonanymi przez obydwu obserwatorów wyrażają następujące równania:

$$\Delta \hspace{.03cm} x’ = \gamma \left( \Delta \hspace{.03cm} x \hspace{.15cm} – V \Delta \hspace{.03cm} t \right)$$

$$\Delta \hspace{.03cm} t’ = \gamma \left( \Delta \hspace{.03cm} t \hspace{.15cm} – \frac{V \Delta \hspace{.03cm} x}{c^2} \right)$$

Dzieląc pierwsze równanie przez drugie otrzymamy:

$$\frac{\Delta \hspace{.03cm} x’}{\Delta \hspace{.03cm} t’} = \frac{\gamma \left( \Delta \hspace{.03cm} x \hspace{.15cm} – V \Delta \hspace{.03cm} t \right)}{\gamma \left( \Delta \hspace{.03cm} t \hspace{.15cm} – \frac{V \Delta \hspace{.03cm} x}{c^2} \right)} = \frac{\Delta \hspace{.03cm} x \hspace{.15cm} – V \Delta \hspace{.03cm} t}{\Delta \hspace{.03cm} t \hspace{.15cm} – \frac{V \Delta \hspace{.03cm} x}{c^2}}$$

Dzieląc następnie licznik i mianownik powyższego wyrażenia przez wielkość Δt dostaniemy:

$$\frac{\Delta \hspace{.03cm} x’}{\Delta \hspace{.03cm} t’} = \frac{\frac{\Delta \hspace{.03cm} x}{\Delta \hspace{.03cm} t} \hspace{.1cm} – V}{1 \hspace{.1cm} – \frac{V \Delta \hspace{.03cm} x}{c^2 \Delta \hspace{.03cm} t}}$$

Zgodnie z powyższym rysunkiem u’  jest prędkością obiektu zmierzoną przez obserwatora w układzie W’ , z kolei u – prędkością zmierzoną w układzie W. Prędkości te możemy także zapisać jako:

$$u’ = \frac{\Delta \hspace{.03cm} x’}{\Delta \hspace{.03cm} t’} \hspace{1cm} , \hspace{1cm} u = \frac{\Delta \hspace{.03cm} x}{\Delta \hspace{.03cm} t}$$

i dlatego równanie opisujące relatywistyczną transformację prędkości przybierze następującą postać:

$$u’ = \frac{u \hspace{.1cm} – V}{1 \hspace{.1cm} – \frac{u V}{c^2}}$$

Nierelatywistyczna transformacja prędkości

Przy założeniu, że prędkość c  dąży do nieskończoności, uzyskamy wyrażenie opisujące nierelatywistyczną transformację prędkości prawdziwą dla prędkości dużo mniejszych od prędkości światła:

$$u’ = u – V$$

Oczywiście równania te możemy także zapisać w nieco zmienionej formie tzn. gdy prędkość u’  jest wielkością znaną, zaś prędkość u – wielkością, której szukamy:

– równanie relatywistyczne:

$$u = \frac{u’ + V}{1 + \tfrac{u’ \hspace{.05cm}V}{c^2}}$$

– równanie nierelatywistyczne:

$$u = u’ + V$$