Prawo powszechnego ciążenia – zadanie nr 5

Na biegunie pewnej planety ciało waży 1,5 razy więcej, niż na równiku. Okres obrotu planety wokół własnej osi wynosi T  = 100 godzin. Oblicz gęstość tej planety.

Jednym z czynników powodujących, że wartość przyspieszenia swobodnego spadku ciała w kierunku dowolnej planety różni się od jej przyspieszenia grawitacyjnego jest ruch obrotowy tej planety, odbywający się wokół osi przechodzącej przez jej bieguny: północny oraz południowy (zobacz: Czynniki wpływające na wartość przyspieszenia). Gdybyśmy dowolne ciało umieścili na jednym z dwóch biegunów planety, okazałoby się, że nacisk N_B  wywierany przez ciało na powierzchnię planety będzie przyjmować jednakową wartość co siła przyciągania grawitacyjnego F  występująca pomiędzy ciałem a planetą:

$$N_B = F \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} N_B = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_p}{r^2}$$

gdzie:
G  – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10^-11 N ⋅ m²/kg²,
m  – masa ciała,
M_p  – masa planety,
r  – odległość dzieląca ciało od środka planety, równa w przybliżeniu promieniowi planety.

Gdybyśmy to samo ciało umieścili w miejscu innym, niż bieguny (np. na równiku), wówczas ciało to będzie podlegać ruchowi jednostajnemu po okręgu z przyspieszeniem dośrodkowym  $\omega_p^2 \hspace{.05cm} r$, skierowanym do środka planety (konsekwencja ruchu obrotowego planety). Zapisując dla tego przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona oraz zakładając, że odległość dzieląca biegun oraz równik od środka planety jest jednakowa, dostaniemy (przyspieszenie dośrodkowe jest skierowane do środka planety, dlatego też w poniższym wzorze występuje ono ze znakiem minus):

$$N_R \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} F = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m \hspace{.05cm} \omega_p^2 \hspace{.05cm} r \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} N_R = F \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m \hspace{.05cm} \omega_p^2 \hspace{.05cm} r = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_p}{r^2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m \hspace{.05cm} \omega_p^2 \hspace{.05cm} r$$

gdzie ω_p  to prędkość kątowa planety.

Z treści zadania wynika, że ciężar ciała na biegunie jest 1,5 razy większy, niż na równiku, dlatego:

$$\frac{N_B}{N_R} = 1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} N_B = 1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} N_R$$

Podstawiając w miejsce N_B  i N_R  wyrażenia podane wyżej, otrzymamy:

$$G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_p}{r^2} = 1,\hspace{-.1cm}5 \cdot \left( G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_p}{r^2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m \hspace{.05cm} \omega_p^2 \hspace{.05cm} r \right)$$

Po wymnożeniu prawej strony powyższego równania oraz po pogrupowaniu wyrazów, uzyskamy:

$$0,\hspace{-.1cm}5 \cdot G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_p}{r^2} = 1,\hspace{-.1cm}5 \cdot m \hspace{.05cm} \omega_p^2 \hspace{.05cm} r$$

Po skróceniu stronami masy m  oraz przeniesieniu na prawą stronę wielkości r², dostaniemy:

$$G \hspace{.05cm} M_p = 3 \hspace{.05cm} \omega_p^2 \hspace{.05cm} r$$

Masa planety M_p, podobnie jak i jej prędkość kątowa ω_p , nie jest znana. Zakładając jednak, że planeta ta ma kształt kuli, możemy jej masę M_p  wyrazić poprzez gęstość ρ_p  = M_p /V_p , skąd dostaniemy: M_p  = ρ_p ⋅ V_p, gdzie V_p  to objętość planety. Ponieważ założyliśmy, że planeta ta jest kulą, dlatego jej objętość musi być równa objętości kuli: $V_p = \frac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r^3$. Prędkość kątową ω_p  planety możemy z kolei powiązać z jej okresem obrotu T  ($\omega_p = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T}$), otrzymując: $\omega_p^2 = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{T^2}$. Po wstawieniu tych zależności do powyższego równania, otrzymamy:

$$G \hspace{.05cm} \rho_p \cdot \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r^3 = 3 \cdot \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{T^2} \hspace{.05cm} r^3$$

Po skróceniu stronami wyrazów podobnych uzyskamy szukane wyrażenie na gęstość planety:

$$\rho_p = \frac{9 \hspace{.05cm} \pi}{G \hspace{.05cm} T^2}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych podanych w treści zadania (pamiętając o wyrażeniu okresu T  w sekundach: 100 h = 360000 s = 3,6 ⋅ 10⁵ s) oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy wartość gęstości ρ_p , równą:

$$\rho_p = \frac{9 \cdot 3,\hspace{-.1cm}14}{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot \left( 3,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^5 \hspace{.05cm} \textrm{s} \right)^2} = 3,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3}$$