Prawo powszechnego ciążenia – zadanie nr 4

Grawitacja - zadania
Brak komentarzy
Drukuj

Oblicz na jakiej wysokości h  ponad powierzchnią Ziemi przyspieszenie ziemskie jest równe połowie przyspieszenia na powierzchni Ziemi. Promień Ziemi rZ  jest znany i wynosi 6370 km.

rozwiązanie

Oznaczmy poprzez gh  przyspieszenie na wysokości h, dla której wartość przyspieszenia równa się połowie wartości przyspieszenia g  na powierzchni Ziemi. Wówczas:

$$g_h = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} g$$

Następnie korzystając z wyrażenia opisującego przyspieszenie grawitacyjne aG :

$$a_G = G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{r^2}$$

możemy wyrazić przyspieszenie gh  jako:

$$g_h = G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{\left( r_z + h \right)^2}$$

oraz g :

$$g = G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{r_Z^2}$$

Po podstawieniu powyższych zależności do pierwszego wzoru opisującego równość tychże dwóch przyspieszeń, dostaniemy:

$$G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{\left( r_z + h \right)^2} = G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{2 \hspace{.1cm} r_Z^2}$$

Po skróceniu oraz podstawieniu w miejsce rZ  wartości 6370 km otrzymamy rozwiązanie naszego zadania:

$$h = r_Z \left( \sqrt{2} \hspace{.15cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = 6370 \hspace{.05cm} \textrm{km} \cdot \left( \sqrt{2} \hspace{.15cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = 2639 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$

Dodaj komentarz