Prawo powszechnego ciążenia – zadanie nr 4
Oblicz na jakiej wysokości h ponad powierzchnią Ziemi przyspieszenie ziemskie jest równe połowie przyspieszenia na powierzchni Ziemi. Promień Ziemi rZ jest znany i wynosi 6370 km.
Oznaczmy poprzez gh przyspieszenie na wysokości h, dla której wartość przyspieszenia równa się połowie wartości przyspieszenia g na powierzchni Ziemi. Wówczas:
$$g_h = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} g$$
Następnie korzystając z wyrażenia opisującego przyspieszenie grawitacyjne aG :
$$a_G = G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{r^2}$$
możemy wyrazić przyspieszenie gh jako:
$$g_h = G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{\left( r_z + h \right)^2}$$
oraz g :
$$g = G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{r_Z^2}$$
Po podstawieniu powyższych zależności do pierwszego wzoru opisującego równość tychże dwóch przyspieszeń, dostaniemy:
$$G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{\left( r_z + h \right)^2} = G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{2 \hspace{.1cm} r_Z^2}$$
Po skróceniu oraz podstawieniu w miejsce rZ wartości 6370 km otrzymamy rozwiązanie naszego zadania:
$$h = r_Z \left( \sqrt{2} \hspace{.15cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = 6370 \hspace{.05cm} \textrm{km} \cdot \left( \sqrt{2} \hspace{.15cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = 2639 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$
Dodaj komentarz