Grawitacyjna energia potencjalna – zadanie nr 4

Dwie gwiazdy neutronowe o masie 3 ⋅ 10³⁰ kg każda, odległe od siebie o 10¹¹ m, mają promień równy 5 ⋅ 10⁴ m. W chwili początkowej obydwie gwiazdy spoczywają. Oblicz prędkość z jaką porusza się każda z nich, gdy odległość pomiędzy ich środkami ulega dwukrotnemu zmniejszeniu oraz, gdy gwiazdy zderzają się ze sobą.

Na początku zajmijmy się pierwszym przypadkiem, w którym odległość pomiędzy środkami gwiazd neutronowych ulega dwukrotnemu zmniejszeniu. Podobnie jak w zadaniu Grawitacyjna energia potencjalna – zadanie nr 2 oraz Grawitacyjna energia potencjalna – zadanie nr 3, punktem wyjścia będzie zapisanie odpowiedniej relacji w oparciu o zasadę zachowania energii. W poprzednich zadaniach masa jednego z dwóch obiektów tworzących pewien układ, była na tyle mała w porównaniu z masą drugiego ciała, że zaniedbywaliśmy wkład energii kinetycznej związanej z tym ciałem do całkowitej energii układu. W tym przypadku obydwa ciała posiadają jednakowe masy, w związku z czym nie możemy zastosować takiego uproszczenia. Wyrażenie na energię całkowitą dla tego układu przed i po zmianie odległości pomiędzy gwiazdami będzie więc przedstawiać się następująco:

$$2 \hspace{.05cm} E_{k1} + E_{p1} = 2 \hspace{.05cm} E_{k2} + E_{p2}$$

Zapisując powyższą relację skorzystaliśmy z faktu, że obydwie gwiazdy posiadają jednakowe masy, a więc muszą także posiadać taką samą energię kinetyczną E_k.

Zgodnie z treścią zadania w chwili początkowej gwiazdy neutronowe znajdują się w spoczynku, wobec czego ich energia kinetyczna E_k1  jest równa zero. Po skorzystaniu z tego faktu oraz wstawieniu w miejsce E_k  i E_p  wyrażeń na energię kinetyczną i grawitacyjną energię potencjalną, otrzymamy:

$$E_{p1} = 2 \hspace{.05cm} E_{k2} + E_{p2} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} G \hspace{.05cm} \frac{M \hspace{.05cm} M}{r} = 2 \cdot \frac{M \hspace{.05cm} V^2}{2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} G \hspace{.05cm} \frac{M \hspace{.05cm} M}{\tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r}$$

gdzie r  to odległość pomiędzy środkami gwiazd neutronowych równa w przybliżeniu 10¹¹ m (odległość dzieląca gwiazdy jest dużo większa od ich promieni, dlatego też możemy je zaniedbać).

Po skróceniu oraz przekształceniu powyższego równania względem V, otrzymamy:

$$M \hspace{.05cm} V^2 = G \hspace{.05cm} \frac{M \hspace{.05cm} M}{r} \left( 2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1 \right) = G \hspace{.05cm} \frac{M \hspace{.05cm} M}{r} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} V = \sqrt{\frac{\mathstrut G \hspace{.05cm} M}{r}}$$

i w efekcie:

$$V = \sqrt{\frac{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 3 \cdot 10^{30} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{10^{11} \hspace{.05cm} \textrm{m}}} = 4,\hspace{-.1cm}47 \cdot 10^4 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \approx 45 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{km}}{\textrm{s}}$$

Następnie obliczmy ile będzie wynosić prędkość gwiazd w momencie ich zderzenia. Postępowanie, jakie przeprowadzimy, będzie takie samo jak w pierwszym przypadku, z tą różnicą, że odległość dzieląca środki gwiazd w chwili zderzenia (czyli, w chwili, gdy powierzchnie gwiazd neutronowych będą znajdować się ze sobą w bezpośrednim kontakcie) będzie równa sumie ich promieni (2 r_p ). Dostaniemy zatem:

$$\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} G \hspace{.05cm} \frac{M \hspace{.05cm} M}{r} = 2 \cdot \frac{M \hspace{.05cm} V^2}{2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} G \hspace{.05cm} \frac{M \hspace{.05cm} M}{2 \hspace{.05cm} r_p} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} V = \sqrt{\mathstrut G \hspace{.05cm} M \left( \frac{1}{2 \hspace{.05cm} r_p} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{r} \right)}$$

Wyrażenie 1/r  jest bliskie zera, dlatego też możemy je pominąć. Ostatecznie dostaniemy:

$$V = \sqrt{\frac{\mathstrut G \hspace{.05cm} M}{2 \hspace{.05cm} r_p}}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy:

$$V = \sqrt{\frac{\mathstrut 6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 3 \cdot 10^{30} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{2 \cdot 5 \cdot 10^4 \hspace{.05cm} \textrm{m}}} = 44733 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{km}}{\textrm{s}}$$