Prawa Keplera – zadanie nr 1

Phobos, satelita Marsa, okrąża planetę po prawie kołowej orbicie o promieniu równym 9,4 ⋅ 10⁶ m. Wiedząc, że okres obiegu satelity wokół Marsa wynosi 7 godzin i 39 minut, wyznacz masę Marsa.

Ruch satelity Phobos wokół Marsa jest ruchem orbitalnym wokół ciała o bardzo dużej masie, w związku z czym, aby obliczyć masę Marsa M_m  będziemy mogli skorzystać z trzeciego prawa Keplera. Zgodnie z tym prawem kwadrat okresu T  ruchu satelity na orbicie wokół Marsa jest proporcjonalny do sześcianu promienia r  tej orbity (Phobos porusza się po orbicie kołowej) i wynosi:

$$T^2 = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M_m} \hspace{.05cm} r^3$$

Przekształcając powyższy wzór względem masy Marsa M_m , otrzymamy:

$$M_m = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G T^2} \hspace{.05cm} r^3$$

Zarówno wartość okresu obiegu T  satelity wokół Marsa, jak i promień r  orbity podane są w treści zadania, zatem (pamiętaj, aby okres T  zawsze wyrażać w sekundach, z kolei promień r  albo półoś wielką orbity a  w metrach):

$$M_m = \frac{4 \cdot \left( 3,\hspace{-.1cm}14 \right)^2}{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \frac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot \left( 27540 \hspace{.05cm} \textrm{s} \right)^2} \cdot \left( 9,\hspace{-.1cm}4 \cdot 10^6 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^3 = 6,\hspace{-.1cm}5 \cdot 10^{23} \hspace{.05cm} \textrm{kg}$$