Prawa Keplera – zadanie nr 2

Słońce, którego masa M_S  wynosi 2 ⋅ 10³⁰ kg, obiega środek Drogi Mlecznej (Galaktyki, w skład której wchodzi Ziemia), odległy od Słońca o 2,2 ⋅ 10²⁰ m, w czasie 2,5 ⋅ 10⁸ lat. Zakładając, że wszystkie gwiazdy znajdujące się w tej Galaktyce mają masę równą masie Słońca oraz, że są one równomiernie rozłożone w kuli o środku w centrum Drogi Mlecznej, oszacuj liczbę gwiazd w tej Galaktyce. Załóż, że Słońce znajduje się na skraju kuli.

Jeżeli zgodnie z warunkami zadania potraktujemy Drogę Mleczną jako kulę o promieniu r, składającą się z gwiazd o masie równej masie Słońca M_S , wówczas liczbę gwiazd N  tworzących naszą Galaktykę będziemy mogli obliczyć dzieląc całkowitą masę Drogi Mlecznej M_DM  (będącą wielokrotnością masy Słońca) przez masę Słońca M_S .

Z treści zadania wynika, że Słońce, które obiega Drogę Mleczną w czasie T  = 2,5 ⋅ 10⁸ lat, znajduje się na jej skraju. Ruch Słońca wokół Galaktyki możemy więc traktować jako ruch orbitalny wokół bardzo masywnego ciała, a to z kolei oznacza, że do obliczenia całkowitej masy M_DM  Drogi Mlecznej będziemy mogli skorzystać z trzeciego prawa Keplera:

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{G{M}_{DM}}{r}^3$$

Przekształcając powyższy wzór względem M_DM , podstawiając wartości liczbowe podane w treści zadania (pamiętając o wyrażeniu obiegu T  w sekundach) oraz wykonując obliczenia, otrzymamy masę Drogi Mlecznej równą:

$$M_{DM}=\frac{4{\pi }^2}{G{T}^2}{r}^3=\frac{4\cdot {(3,14)}^2}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot {(7,884\cdot {10}^{15}\text{s})}^2}\cdot {(2,2\cdot {10}^{20}\text{m})}^3={10}^{41}\text{kg}$$

Znając masę Drogi Mlecznej możemy przystąpić do obliczenia liczby gwiazd N  w naszej Galaktyce:

$$N=\frac{M_{DM}}{M_S}=5\cdot {10}^{10}$$