Prawa Keplera – zadanie nr 2

Słońce, którego masa M_S  wynosi 2 ⋅ 10³⁰ kg, obiega środek Drogi Mlecznej (Galaktyki, w skład której wchodzi Ziemia), odległy od Słońca o 2,2 ⋅ 10²⁰ m, w czasie 2,5 ⋅ 10⁸ lat. Zakładając, że wszystkie gwiazdy znajdujące się w tej Galaktyce mają masę równą masie Słońca oraz, że są one równomiernie rozłożone w kuli o środku w centrum Drogi Mlecznej, oszacuj liczbę gwiazd w tej Galaktyce. Załóż, że Słońce znajduje się na skraju kuli.

Jeżeli zgodnie z warunkami zadania potraktujemy Drogę Mleczną jako kulę o promieniu r, składającą się z gwiazd o masie równej masie Słońca M_S , wówczas liczbę gwiazd N  tworzących naszą Galaktykę będziemy mogli obliczyć dzieląc całkowitą masę Drogi Mlecznej M_DM  (będącą wielokrotnością masy Słońca) przez masę Słońca M_S .

Z treści zadania wynika, że Słońce, które obiega Drogę Mleczną w czasie T  = 2,5 ⋅ 10⁸ lat, znajduje się na jej skraju. Ruch Słońca wokół Galaktyki możemy więc traktować jako ruch orbitalny wokół bardzo masywnego ciała, a to z kolei oznacza, że do obliczenia całkowitej masy M_DM  Drogi Mlecznej będziemy mogli skorzystać z trzeciego prawa Keplera:

$$T^2 = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M_{DM}} \hspace{.05cm} r^3$$

Przekształcając powyższy wzór względem M_DM , podstawiając wartości liczbowe podane w treści zadania (pamiętając o wyrażeniu obiegu T  w sekundach) oraz wykonując obliczenia, otrzymamy masę Drogi Mlecznej równą:

$$M_{DM} = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G T^2} \hspace{.05cm} r^3 = \frac{4 \cdot \left( 3,\hspace{-.1cm}14 \right)^2}{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \frac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot \left( 7,884 \cdot 10^{15} \hspace{.05cm} \textrm{s} \right)^2} \cdot \left( 2,\hspace{-.1cm}2 \cdot 10^{20} \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^3 = 10^{41} \hspace{.05cm} \textrm{kg}$$

Znając masę Drogi Mlecznej możemy przystąpić do obliczenia liczby gwiazd N  w naszej Galaktyce:

$$N = \frac{M_{DM}}{M_S} = 5 \cdot 10^{10}$$