Grawitacyjna energia potencjalna – zadanie nr 2

Pewna planeta o masie M  = 5 ⋅ 10²⁴ kg i promieniu r_p  = 2500 km przyciąga siłą grawitacyjną ciało znajdujące się początkowo w spoczynku, w tak dużej odległości od środka planety, że możemy uznawać ją za nieskończoną. Po upływie pewnego czasu, ciało to spada na planetę. Ile wynosi prędkość ciała w momencie dotarcia do powierzchni planety?

Aby obliczyć prędkość V  ciała w momencie dotarcia do powierzchni planety, skorzystamy z zasady zachowania energii. Zgodnie z tą zasadą całkowita energia dowolnego układu izolowanego (układu nie wymieniającego masy oraz energii z otoczeniem) pozostaje stała. W tym zadaniu założymy oczywiście, że układ ciało – planeta jest takim właśnie układem. Założymy także, że masa ciała jest na tyle mała w porównaniu z masą planety, że energia kinetyczna układu ciało – planeta jest po prostu równa energii kinetycznej ciała.

Zasadę zachowania energii dla naszego układu opisuje następujące równanie:

$$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$$

gdzie:
E_k1  i E_k2  to energia kinetyczna ciała odpowiednio na początku i końcu ruchu,
E_p1  i E_p2  to grawitacyjna energia potencjalna układu ciało – planeta odpowiednio w odległości r  = ∞  (na początku ruchu) i r  = r_p  (na końcu ruchu).

Z treści zadania wynika, że ciało na początku ruchu przebywając w odległości r  = ∞  od środka planety, znajdowało się w spoczynku (V₀ = 0 m/s), w związku z czym zarówno E_k1, jak i E_p1  są równe zero. Ponieważ energia całkowita układu na początku i końcu ruchu musi pozostawać stała, dlatego też prawa strona powyższego równania musi być także równa zero. Oznacza to, że:

$$E_{k2} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} E_{p2} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{m \hspace{.05cm} V^2}{2} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_p}{r_p} \right) = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_p}{r_p}$$

gdzie:
m  i V  to odpowiednio masa oraz prędkość ciała,
M_p  i r_p  to odpowiednio masa oraz promień planety.

Skracając stronami powyższe wyrażenie i przekształcając je następnie względem V, dostaniemy:

$$V = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} M_p}{r_p}}$$

i w efekcie:

$$V = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 5 \cdot 10^{24} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{2500 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{km}}{\textrm{s}}}} = 1,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^4 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} = 16 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{km}}{\textrm{s}}$$