Grawitacyjna energia potencjalna – zadanie nr 3

Ile wynosi prędkość ucieczki z planetoidy o promieniu 300 km i przyspieszeniu grawitacyjnym na powierzchni równym 1,5 m/s²? Oblicz odległość h  od powierzchni planetoidy, jaką przebyje cząstka wystrzelona z jej powierzchni z prędkością równą 640 m/s.

Prędkość ucieczki to minimalna prędkość, z jaką musi poruszać się cząstka, aby mogła opuścić dowolne ciało niebieskie (np. planetę, czy gwiazdę). Im większa masa ciała niebieskiego oraz im mniejszy jest jego promień, tym większa wartość prędkości ucieczki. Aby obliczyć prędkość ucieczki z planetoidy skorzystamy z zasady zachowania energii, którą dla układu cząstka – planetoida możemy zapisać w następującej postaci:

$$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$$

gdzie:
E_k1  i E_k2  to energia kinetyczna cząstki odpowiednio przed i po wystrzeleniu jej z powierzchni planetoidy (założyliśmy, że zmiana energii kinetycznej planetoidy, ze względu na jej dużą masę, jest na tyle mała, że możemy ją zaniedbać – masa cząstki nie jest podana, jednak zakładamy, że jest ona dużo mniejsza od masy planetoidy),
E_p1  i E_p2  – grawitacyjna energia potencjalna układu cząstka – planetoida odpowiednio przed i po wystrzeleniu cząstki.

Cząstka poruszająca się z prędkością ucieczki V_u  zatrzyma się (przynajmniej w teorii) w nieskończonej odległości od powierzchni ciała niebieskiego, z którego została wystrzelona (w naszym przypadku – z planetoidy), zatem energia kinetyczna E_k2  i grawitacyjna energia potencjalna E_p2  w odległości r = ∞  od środka planetoidy będą równe zero. Zgodnie z zasadą zachowania energii, całkowita energia układu izolowanego (zakładamy, że układ cząstka – planetoida jest takim właśnie układem) pozostaje stała, w związku z czym energia początkowa układu E_k1  + E_p1  musi być także równa zero:

$$E_{k1} + E_{p1} = 0 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} E_{k1} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} E_{p1}$$

Po podstawieniu w miejsce E_k1  i E_p1  wyrażeń na energię kinetyczną i grawitacyjną energię potencjalną, dostaniemy:

$$\frac{m \hspace{.05cm} V_u^2}{2} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r} \right) = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r}$$

gdzie:
m  i V_u  to odpowiednio masa oraz prędkość cząstki, równa prędkości ucieczki z planetoidy,
M  i r  to odpowiednio masa oraz promień planetoidy.

Po skróceniu oraz przekształceniu powyższego wyrażenia względem V_u , otrzymamy:

$$V_u = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} M}{r}}$$

Masa M  planetoidy nie jest znana. Wiemy jednak ile wynosi przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni planetoidy. Korzystając z wyrażenia na przyspieszenie grawitacyjne a_G  równe:

$$a_G = \frac{G \hspace{.05cm} M}{r^2}$$

otrzymamy:

$$V_u = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} M}{r} \cdot \frac{r}{r}} = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} M \hspace{.05cm} r}{r^2}} = \sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} a_G \hspace{.05cm} r}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, uzyskamy:

$$V_u = \sqrt{2 \cdot 1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} \cdot 300 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m}} = 949 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$

Aby obliczyć następnie odległość h, jaką od powierzchni planetoidy, przebyje cząstka wystrzelona z jej powierzchni z prędkością V  = 640 m/s, ponownie skorzystamy z zasady zachowania energii. Zauważ, że prędkość V  jest mniejsza od prędkości ucieczki V_u  równej 949 m/s, tak więc cząstka ta nie będzie zdolna opuścić planetoidy i po osiągnięciu wysokości h  spadnie na jej powierzchnię. W związku z tym energia kinetyczna cząstki na wysokości h  będzie równa zero. Korzystając z zasady zachowania energii możemy zapisać, że:

$$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} E_{k1} + E_{p1} = E_{p2}$$

gdzie:
E_k1  i E_k2  to energia kinetyczna cząstki odpowiednio przed i po wystrzeleniu jej z powierzchni planetoidy,
E_p1  i E_p2  – grawitacyjna energia potencjalna układu cząstka – planetoida odpowiednio przed i po wystrzeleniu cząstki.

Po wstawieniu do powyższego równania wyrażeń na energię kinetyczną i grawitacyjną energię potencjalną, otrzymamy:

$$\frac{m \hspace{.05cm} V^2}{2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r + h}$$

skąd po skróceniu oraz przekształceniu powyższej zależności względem wysokości h, dostaniemy:

$$h = \frac{2 \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} M \hspace{.05cm} r}{2 \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} M \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} V^2 \hspace{.05cm} r} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} r$$

Następnie, podobnie jak wyżej, skorzystamy z wyrażenia na przyspieszenie grawitacyjne a_G , otrzymując ostatecznie:

$$h = \frac{2 \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} M \hspace{.05cm} r \cdot \dfrac{r^2}{r^2}}{2 \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} M \hspace{.1cm} \cdot \dfrac{r^2}{r^2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} V^2 \hspace{.05cm} r} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} r = \frac{2 \hspace{.05cm} a_G \hspace{.05cm} r^3}{2 \hspace{.05cm} a_G \hspace{.05cm} r^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} V^2 \hspace{.05cm} r} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} r$$

i w efekcie:

$$h = \frac{2 \cdot 1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} \cdot \left( 300 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^3}{2 \cdot 1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} \cdot \left( 300 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( 640 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \right)^2 \cdot 300 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 300 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 251 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$