Grawitacyjna energia potencjalna – zadanie nr 1

Grawitacja - zadania
2 komentarze
Drukuj

Oblicz grawitacyjną energię potencjalną układu dwóch cząstek przedstawionych na poniższym rysunku. Następnie wyobraź sobie, że odległość R  wzrosła czterokrotnie. Ile wynosi wartość pracy W  wykonanej przez siłę grawitacji działającej pomiędzy cząstkami?

układ dwóch ciał - rysunek schematyczny - grawitacyjna energia potencjalna - zadanie nr 1
rozwiązanie

Grawitacyjna energia potencjalna układu dwóch ciał wyraża się następująco:

$$E_p = \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r}$$

gdzie:
G  – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10-11 N ⋅ m2/kg2,
m  i M  to masa jednego i drugiego ciała,
r  – odległość pomiędzy środkami ciał.

W naszym przypadku mamy do czynienia z dwiema cząstkami o masach m1  i m2, oddalonych od siebie o R, dlatego też powyższe wyrażenie możemy zapisać jako:

$$E_p = \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} \frac{m_1 \hspace{.05cm} m_2}{R}$$

Masa obydwu cząstek, jak i odległość R  podane są w treści zadania, zatem grawitacyjna energia potencjalna dla tego układu cząstek wynosi:

$$E_p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot \frac{3,\hspace{-.1cm}4 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 2,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{5 \hspace{.05cm} \textrm{m}} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 11,\hspace{-.1cm}3 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \textrm{J}$$

Zajmijmy się teraz drugą częścią zadania. Gdy odległość R  pomiędzy cząstkami wzrośnie czterokrotnie, wartość grawitacyjnej energii potencjalnej Ep  zmaleje cztery razy. Jak możesz przeczytać w artykule Grawitacyjna energia potencjalna, zmiana grawitacyjnej energii potencjalnej ΔEp  równa się pracy W  wykonanej przez siłę ciężkości, wziętej z przeciwnym znakiem:

$$\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} W = \Delta \hspace{.03cm} E_p = E_{p,konc} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} E_{p,pocz}$$

gdzie:
Ep,konc  – grawitacyjna energia potencjalna układu po czterokrotnym zwiększeniu odległości R pomiędzy cząstkami,
Ep,pocz  – grawitacyjna energia potencjalna układu w sytuacji początkowej, czyli przed zwiększeniem odległości R.

Grawitacyjną energię potencjalną układu cząstek dla sytuacji przed oraz po zwiększeniu odległości R możemy przedstawić jako:

$$E_{p,pocz} = \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} \frac{m_1 \hspace{.05cm} m_2}{R}$$

$$E_{p,konc} = \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} \frac{m_1 \hspace{.05cm} m_2}{4 \hspace{.05cm} R}$$

Po podstawieniu powyższych zależności do wzoru na ΔEp , otrzymamy:

$$\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} W = E_{p,konc} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} E_{p,pocz} = \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} \frac{m_1 \hspace{.05cm} m_2}{4 \hspace{.05cm} R} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} G \hspace{.05cm} \frac{m_1 \hspace{.05cm} m_2}{R} \right) = \frac{3}{4} \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} \frac{m_1 \hspace{.05cm} m_2}{R}$$

Po odwróceniu znaków, podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, uzyskamy wartość pracy W  równą:

$$W = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{3}{4} \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} \frac{m_1 \hspace{.05cm} m_2}{R} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{3}{4} \cdot 6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot \frac{3,\hspace{-.1cm}4 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 2,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{5 \hspace{.05cm} \textrm{m}} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 8,\hspace{-.1cm}5 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \textrm{J}$$

Dodaj komentarz

Anuluj komentarz

2 komentarze

  • Krystian

    Dodano dnia 16 grudnia 2018 o godz. 17:49

    skąd się wzięło 3/4 ?

    • Admin

      Dodano dnia 17 grudnia 2018 o godz. 09:55

      $ -G \dfrac{m_1 \cdot m_2}{4 R} – (-G \dfrac{m_1 \cdot m_2}{R}) = G \dfrac{m_1 \cdot m_2}{R} \left(1 – \dfrac{1}{4} \right) = \dfrac{3}{4} G \dfrac{m_1 \cdot m_2}{R}$