Grawitacyjna energia potencjalna

Grawitacja - teoria
Brak komentarzy
Drukuj

Na każde ciało o masie m wyrzucone ku górze z powierzchni Ziemi (czy też z każdego innego ciała niebieskiego) z prędkością początkową V0 , działa siła ciężkości (grawitacji), zwrócona w kierunku Ziemi. Efektem działania tej siły jest stopniowe zmniejszanie się energii kinetycznej Ek  ciała, aż do chwili, w której wartość Ek  stanie się równa zero. Z zupełnie odwrotną sytuacją mamy do czynienia podczas swobodnego spadku ciała, kiedy to wartość energii Ek ciała zaczyna stopniowo wzrastać, osiągając maksimum tuż przed upadkiem ciała na Ziemię. W obydwu wspomnianych przypadkach zmiany energii kinetycznej ΔEk  ciała związane są z pracą wykonywaną nad ciałem przez siłę ciężkości, której wartość podczas wznoszenia się ciała jest ujemna (W < 0), z kolei podczas swobodnego spadku – dodatnia (W > 0). Każdorazowa zmiana wartości energii kinetycznej ciała, spowodowana działaniem siły ciężkości, powoduje zmianę grawitacyjnej energii potencjalnej układu ciało – Ziemia, której to obecnie poświęcimy nieco więcej uwagi.

Grawitacyjna energia potencjalna – wzór

Ogólnie rzecz biorąc grawitacyjna energia potencjalna Ep  związana jest z odległością r  pomiędzy ciałami. Gdybyśmy chcieli obliczyć wartość energii potencjalnej układu dwóch ciał (np. układu kamień – Ziemia) skorzystalibyśmy z poniższego wzoru (wyprowadzenie poniższej zależności znajdziesz w artykule Grawitacyjna energia potencjalna – wyprowadzenie wzoru):

$$E_p = \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r}$$

gdzie:
G – stała grawitacji równa 6,67 ∙ 10-11 N ∙ m2/kg2,
m , M – masa jednego i drugiego ciała,
r – odległość między środkami ciał.

Znak minus w powyższym wzorze oznacza, że zmiana energii potencjalnej ΔEp  układu ciał jest przeciwna do pracy W  wykonanej przez siłę ciężkościEp  = – W). Zauważ, że gdy r → ∞, wartość Ep  dąży do zera, z kolei, gdy r  przyjmuje skończoną wartość, Ep  jest ujemne.

Musisz pamiętać, że grawitacyjna energia potencjalna Ep  odnosi się zawsze do układu ciał traktowanego jako całość a nie do każdego ciała z osobna. Wyjątkiem od tej reguły jest każdy przypadek, w którym masa m  jednego z ciał jest dużo większa od masy M  pozostałego (pozostałych) ciał (m  ≫ M). Najprostszym przykładem takiego układu jest układ kamień – Ziemia, dla którego (gdy tylko kamień porusza się w pobliżu Ziemi) zmiany energii potencjalnej są praktycznie całkowicie związane ze zmianą energii kinetycznej kamienia, ponieważ zmiana energii kinetycznej Ziemi jest praktycznie niemierzalna. W takim przypadku zamiast mówić o grawitacyjnej energii potencjalnej układu kamień – Ziemia możemy mówić o grawitacyjnej energii potencjalnej kamienia.

Grawitacyjna energia potencjalna układu czterech ciał

układ czterech ciał - grawitacyjna energia potencjalna

Wzór na Ep , podany wyżej, jest słuszny tylko i wyłącznie dla układu składającego się z dwóch ciał. W przypadku, gdy układ składa się z większej ilości ciał, każdą parę ciał należy rozważać niezależnie od siebie (pomijając wpływ innych ciał), obliczając dla niej grawitacyjną energię potencjalną Ep  i następnie poszczególne wartości energii pododawać do siebie. Dla układu ciał przedstawionego na powyższym rysunku wartość Ep  wynosi:

$$E_p = \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} \left( \frac{m_1 \hspace{.05cm} m_2}{r_{12}} + \frac{m_1 \hspace{.05cm} m_3}{r_{13}} + \frac{m_1 \hspace{.05cm} m_4}{r_{14}} + \frac{m_2 \hspace{.05cm} m_3}{r_{23}} + \frac{m_2 \hspace{.05cm} m_4}{r_{24}} + \frac{m_3 \hspace{.05cm} m_4}{r_{34}} \right)$$

Należy zaznaczyć, że wartość zmiany grawitacyjnej energii potencjalnej ΔEp  nie zależy od drogi przebytej przez dowolne ciało (np. podczas wznoszenia, czy opadania), ponieważ siła grawitacji działająca na takie ciało jest siłą zachowawczą.

Dodaj komentarz