Grawitacyjna energia potencjalna – wyprowadzenie wzoru

Wyprowadzenia wzorów
2 komentarze
Drukuj

Wyprowadzenie wzoru:

$$E_p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r}$$

Wyobraźmy sobie sytuację, w której piłkę o masie m  wyrzucamy z powierzchni Ziemi w kierunku pionowym w górę, po torze przedstawionym na poniższym rysunku. Interesuje nas znalezienie wyrażenia na grawitacyjną energię potencjalną Ep  układu piłka – Ziemia w punkcie K, znajdującym się w odległości r  od środka Ziemi.

układ piłka-Ziemia - rysunek schematyczny - grawitacyjna energia potencjalna - wyprowadzenie wzoru
Układ piłka-Ziemia – rysunek schematyczny

Obliczmy na początek pracę W  wykonaną nad piłką przez siłę grawitacji $\vec{F}_g$  przy przemieszczeniu piłki od punktu K  do punktu leżącego w nieskończonej odległości od środka Ziemi:

$$W = \int\limits_{r}^{\infty} \vec{F}_g(r) \hspace{.1cm} \vec{dr} = \int\limits_{r}^{\infty} F_g(r) \hspace{.1cm} dr \hspace{.1cm} \textrm{cos} \hspace{.05cm} \alpha$$

gdzie:
Fgr )  – siła grawitacji,
dr  – różniczkowe (bardzo niewielkie) przemieszczenie piłki wzdłuż toru, po którym się porusza,
α  – kąt zawarty pomiędzy wektorem $\vec{F}_g(r)$  a  $\vec{dr}$, który zgodnie z rysunkiem wynosi 180o.

W powyższym wzorze, aby rozpisać wyrażenie $\vec{F}_g (r) \hspace{.1cm} \vec{dr}$ skorzystaliśmy ze wzoru na iloczyn skalarny dwóch wektorów. Podstawiając następnie w miejsce Fg ( r )  wyrażenie na siłę grawitacji oraz korzystając z faktu, że cos 180o = -1, dostaniemy:

$$W = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \int\limits_{r}^{\infty} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r^2} \hspace{.05cm} dr = \left[ G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r} \right]_r^\infty = \left[ 0 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r} \right] = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r}$$

gdzie:
m  – masa piłki,
M  – masa Ziemi.

W  (jak napisaliśmy wcześniej) jest pracą potrzebną do przeniesienia piłki z punktu K  do nieskończoności. Aby znaleźć wyrażenie na grawitacyjną energię potencjalną Ep  w punkcie K  skorzystamy z poniższego wyrażenia, w którym pracę W  przedstawimy jako zmianę energii potencjalnej ΔEp  (zobacz: Grawitacyjna energia potencjalna):

$$\Delta \hspace{.03cm} E_p = E_{p,konc} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} E_{p,pocz} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} W$$

gdzie:
Ep,konc  – grawitacyjna energia potencjalna w nieskończoności,
Ep,pocz  – grawitacyjna energia potencjalna w punkcie K.

Ponieważ energia potencjalna dowolnego ciała w nieskończonej odległości od Ziemi jest równa zero – Ep,konc  = 0 – zatem:

$$E_{p,pocz} = E_p = W = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r}$$

Dodaj komentarz

2 komentarze

  • marek

    Dodano dnia 24 grudnia 2012 o godz. 16:25

    w szkole średniej nie ma w programie całek. To wyprowadzenie nie jest zrozumiełe. Co się stało z minusem przed całką?

    • Admin

      Dodano dnia 25 grudnia 2012 o godz. 11:26

      To wyprowadzenie nie jest zrozumiełe.

      Napisz dokładniej czego nie rozumiesz.

      Co się stało z minusem przed całką?

      Po rozpisaniu iloczynu skalarnego wektorów $\vec{F}$ i $\vec{r}$ mamy $\vec{F} \vec{r} cos\alpha$. Wektory $\vec{F}$ i $\vec{r}$ mają przeciwne zwroty (są antyrównoległe), dlatego kąt $\alpha$ = 180o , a cos(180o) = -1 i stąd minus przed całką. Po obliczeniu całki minus „znika” – efekt zastosowania wzoru całkowego na wyrażenie 1/r2.