Transformacja Lorentza – wyprowadzenie wzoru

Wyprowadzenie wzorów:

Zacznijmy od zapisania równań opisujących transformację Galileusza:

\begin{align*}
&x’ = x \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V \hspace{.05cm} t\\
&y’ = y\\
&z’ = z\\
&t’ = t
\end{align*}

Powyższe równania pozwalają wyznaczyć primowane (‘) współrzędne czasoprzestrzenne x’, y’, z’  oraz t’, gdy znane są współrzędne nieprimowane x, y, z  oraz t. Gdybyśmy znali współrzędne primowane, a chcielibyśmy dowiedzieć się ile wynoszą współrzędne nieprimowane wówczas po przekształceniu powyższych równań uzyskalibyśmy następujące relacje:

\begin{align*}
&x = x’ + V \hspace{.05cm} t’\\
&y’ = y\\
&z’ = z\\
&t’ = t
\end{align*}

W przypadku fizyki relatywistycznej pierwsze równanie, dla obydwu przypadków, zapisujemy w poniższej formie:

$$x’ = \gamma \left( x \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V \hspace{.05cm} t \right) \hspace{3cm} x = \gamma’ \left( x’ + V \hspace{.05cm} t’ \right)$$

gdzie γ  i γ’  są pewnymi współczynnikami.

Zgodnie ze szczególną teorią względności Einsteina żaden układ fizyczny nie jest układem wyróżnionym, w związku z czym γ  = γ’. Przekształcając równanie:

$$x = \gamma’ \left( x’ + V \hspace{.05cm} t’ \right)$$

względem t’, otrzymamy:

$$t’ = \frac{x \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \gamma \hspace{.05cm} x’}{\gamma \hspace{.05cm} V}$$

Wiedząc, że:

$$x’ = \gamma \left( x \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V \hspace{.05cm} t \right)$$

uzyskamy po przekształceniach:

$$t’ = \gamma \left[ \frac{x}{V} \left( \frac{1}{\gamma^2} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1 \right) + t \right]$$

Widzimy, że wielkością szukaną jest współczynnik γ. Aby go znaleźć posłużymy się poniższym rysunkiem przedstawiającym jeden z dwóch rozważanych tutaj układów odniesienia:

Dla układu przedstawionego powyżej oraz analogicznego układu odniesienia poruszającego się z prędkością V  względem niego możemy zapisać:

\begin{align*}
&x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \\
&x’^2 + y’^2 + z’^2 = R’^2
\end{align*}

gdzie R  jest odległością przebywaną przez światło równą ct. Dlatego też:

\begin{align*}
&x^2 + y^2 + z^2 = c^2 \hspace{.05cm} t^2 \\
&x’^2 + y’^2 + z’^2 = c^2 \hspace{.05cm} t’^2
\end{align*}

Zajmijmy się drugim równaniem, w którym występują primowane współrzędne czasoprzestrzenne. Wiedząc, że y’  = y, z’  = z  oraz:

$$t’ = \gamma \left[ \frac{x}{V} \left( \frac{1}{\gamma^2} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1 \right) + t \right]$$

(co wykazaliśmy wcześniej) otrzymamy:

$$\gamma^2 \left( x \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V \hspace{.05cm} t \right)^2 + y^2 + z^2 = c^2 \hspace{.05cm} \gamma^2 \left[ \frac{x}{V} \left( \frac{1}{\gamma^2} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1 \right) + t \right]^2$$

Po przemnożeniu i przekształceniu stronami, dostaniemy:

$$\left[ \gamma^2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{c^2 \hspace{.05cm} \gamma^2}{V^2} \left( \frac{1}{\gamma^2} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1 \right)^2 \right] x^2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \left[ 2 \hspace{.05cm} V \hspace{.05cm} \gamma^2 + \frac{2 \hspace{.05cm} c^2 \hspace{.05cm} \gamma^2}{V} \left( \frac{1}{\gamma^2} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1 \right) \right] x \hspace{.05cm} t + y^2 + z^2 = \left( c^2 \hspace{.05cm} \gamma^2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V^2 \hspace{.05cm} \gamma^2 \right) t^2$$

Naszym celem jest znalezienie takiego γ, które będzie identyczne z wyrażeniem:

$$x^2 + y^2 + z^2 = c^2 \hspace{.05cm} t^2$$

Po przyrównaniu stronami wyrazów stojących przy t ² dla powyższych dwóch równań, uzyskamy:

$$c^2 \hspace{.05cm} \gamma^2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V^2 \hspace{.05cm} \gamma^2 = c^2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \gamma^2 = \frac{c^2}{c^2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V^2}$$

i w konsekwencji:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \left( \frac{V}{c} \right)^2}}$$

(współczynnik ten to oczywiście dobrze nam znany współczynnik Lorentza).

Podstawiając ten współczynnik do wyrażenia na t’  otrzymamy wyrażenie opisujące transformację czasu, które mieliśmy wyprowadzić:

$$t’ = \gamma \left[ \frac{x}{V} \left( \frac{1}{\gamma^2} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1 \right) + t \right] = \gamma \left( t \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{x \hspace{.05cm} V}{c^2}\right)$$