Trzecie prawo Keplera – wyprowadzenie wzoru

Wyprowadzenie wzoru:

Zacznijmy od naszkicowania sytuacji, w której planeta o masie m  porusza się wokół Słońca (o masie M ) po orbicie kołowej o promieniu r. Promień r  orbity kołowej jest odpowiednikiem półosi wielkiej elipsy a  (zobacz: Prawa Keplera).

Ruch planety wokół Słońca odbywa się pod wpływem siły dośrodkowej, którą stanowi siła ich wzajemnego przyciągania grawitacyjnego:

$$F = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r^2}$$

Przyspieszenie dośrodkowe a  z jakim porusza się planeta wynosi:

$$a = \omega^2 \hspace{.05cm} r$$

gdzie ω to prędkość kątowa planety.

Zapisując dla tego układu drugą zasadę dynamiki Newtona, dostaniemy:

$$\vec{F}_{wyp} = m \hspace{.05cm} \vec{a} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M}{r^2} = m \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} r$$

Po skróceniu oraz podzieleniu obydwu stron powyższego równania przez promień r, otrzymamy:

$$G \hspace{.05cm} \frac{M}{r^3} = \omega^2$$

Prędkość kątową ω planety możemy wyrazić jako:

$$\omega = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T}$$

gdzie T  to okres obiegu Słońca przez planetę.

Mamy więc:

$$G \hspace{.05cm} \frac{M}{r^3} = \left( \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T} \right)^2$$

Po przekształceniu powyższego wyrażenia względem T, dostaniemy:

$$T^2 = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} r^3$$

Równanie, które otrzymaliśmy jest słuszne dla obiektów poruszających się po orbicie kołowej o promieniu r. Jak napisaliśmy wyżej, promień r  jest odpowiednikiem półosi wielkiej elipsy a, zatem dla ciał poruszających się po orbicie eliptycznej prawdziwe jest poniższe wyrażenie, które mieliśmy wyprowadzić:

$$T^2 = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} a^3$$