Grawitacja w pobliżu Ziemi – zadanie nr 1

Oblicz wysokość nad powierzchnią Ziemi, na której przyspieszenie grawitacyjne a_G  ciała o masie m  jest równe 6,5 m/s². Stała grawitacji G  = 6,67 ∙ 10^-11 N ∙ m²/kg², masa Ziemi M_Z  = 6 ∙ 10²⁴ kg, promień Ziemi r_Z  = 6370 km.

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia na dowolne ciało o masie m  znajdujące się w pobliżu Ziemi działa siła grawitacyjna o wartości równej:

$$F=G\frac{m{M}_Z}{r^2}$$

gdzie r  to odległość pomiędzy środkiem ciała a środkiem Ziemi.

Pod wpływem tej siły ciało porusza się w kierunku Ziemi z przyspieszeniem ziemskim a_G. Zależność pomiędzy tymi wielkościami opisuje druga zasada dynamiki Newtona:

$$F_{wyp}=m{a}_G$$

Porównując stronami powyższe wyrażenia, dostaniemy (zobacz: Grawitacja w pobliżu Ziemi):

$$G\frac{m{M}_Z}{r^2}=m{a}_G⟶a_G=G\frac{M_Z}{r^2}$$

Szukaną wielkością jest wysokość nad powierzchnią Ziemi, na której przyspieszenie grawitacyjne a_G  jest równe 6,5 m/s². W powyższym wyrażeniu (jak wspomnieliśmy wyżej) r  jest odległością pomiędzy środkiem ciała a środkiem Ziemi, w związku z czym od wartości r, którą uzyskamy przekształcając powyższą zależność:

$$r^2=G\frac{M_Z}{a_G}⟶r=\sqrt{G\frac{M_Z}{a_G}}$$

będziemy musieli odjąć odległość dzielącą środek Ziemi od jej powierzchni, która jest oczywiście równa promieniowi Ziemi r_Z :

$$r_h=r–r_Z=\sqrt{G\frac{M_Z}{a_G}}–r_Z$$

Po wstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy:

$$r_h=\sqrt{\frac{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 6\cdot {10}^{24}\text{kg}}{6,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}–6370\text{km}=7847\text{km}–6370\text{km}=1477\text{km}$$