Grawitacja w pobliżu Ziemi – zadanie nr 1

Oblicz wysokość nad powierzchnią Ziemi, na której przyspieszenie grawitacyjne a_G  ciała o masie m  jest równe 6,5 m/s². Stała grawitacji G  = 6,67 ∙ 10^-11 N ∙ m²/kg², masa Ziemi M_Z  = 6 ∙ 10²⁴ kg, promień Ziemi r_Z  = 6370 km.

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia na dowolne ciało o masie m  znajdujące się w pobliżu Ziemi działa siła grawitacyjna o wartości równej:

$$F = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_Z}{r^2}$$

gdzie r  to odległość pomiędzy środkiem ciała a środkiem Ziemi.

Pod wpływem tej siły ciało porusza się w kierunku Ziemi z przyspieszeniem ziemskim a_G. Zależność pomiędzy tymi wielkościami opisuje druga zasada dynamiki Newtona:

$$F_{wyp} = m \hspace{.05cm} a_G$$

Porównując stronami powyższe wyrażenia, dostaniemy (zobacz: Grawitacja w pobliżu Ziemi):

$$G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_Z}{r^2} = m \hspace{.05cm} a_G \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} a_G = G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{r^2}$$

Szukaną wielkością jest wysokość nad powierzchnią Ziemi, na której przyspieszenie grawitacyjne a_G  jest równe 6,5 m/s². W powyższym wyrażeniu (jak wspomnieliśmy wyżej) r  jest odległością pomiędzy środkiem ciała a środkiem Ziemi, w związku z czym od wartości r, którą uzyskamy przekształcając powyższą zależność:

$$r^2 = G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{a_G} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} r = \sqrt{G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{a_G}}$$

będziemy musieli odjąć odległość dzielącą środek Ziemi od jej powierzchni, która jest oczywiście równa promieniowi Ziemi r_Z :

$$r_h = r \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} r_Z = \sqrt{G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{a_G}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} r_Z$$

Po wstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy:

$$r_h = \sqrt{\frac{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \cdot \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{6,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 6370 \hspace{.05cm} \textrm{km} = 7847 \hspace{.05cm} \textrm{km} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 6370 \hspace{.05cm} \textrm{km} = 1477 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$