Grawitacja w pobliżu Ziemi – zadanie nr 2

Ciężar pewnego ciała umieszczonego na powierzchni Ziemi wynosi 200 N. Ile będzie ważyło to ciało na powierzchni Księżyca? W jakiej odległości od środka Ziemi należałoby umieścić to ciało, aby jego ciężar był równy ciężarowi na Księżycu? Masa i promień Księżyca są znane i wynoszą odpowiednio: M_K = 7,36 ⋅ 10²² kg, r_K = 1740 km. Masa Ziemi M_Z  jest równa 5,98 ⋅ 10²⁴ kg.

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego a_G  jest ściśle związana z masą obiektu. Ponieważ masa Księżyca jest prawie sto razy mniejsza od masy Ziemi, możemy się zatem domyślać, że wartość przyspieszenia grawitacyjnego, a więc i w konsekwencji wartość ciężaru ciała, jest mniejsza na Księżycu, niż na Ziemi. Aby obliczyć ciężar ciała na powierzchni Księżyca skorzystamy z wyrażenia na siłę ciężkości F_gK, która działa na ciało ze strony Księżyca:

$$F_{gK} = m \hspace{.05cm} a_{GK}$$

gdzie a_GK  to przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu.

Masa ciała nie jest znana. Możemy ją jednak z łatwością wyznaczyć, ponieważ znamy ciężar tego ciała na Ziemi:

$$m = \frac{F_{gZ}}{a_{GZ}}$$

gdzie F_gZ  i a_GZ  to odpowiednio ciężar ciała oraz przyspieszenie grawitacyjne na Ziemi, którego średnia wartość tuż przy jej powierzchni wynosi 9,81 m/s².

Przyspieszenie grawitacyjne a_GK  obliczymy korzystając z poniższego wzoru (zobacz: Grawitacja w pobliżu Ziemi):

$$a_{GK} = \frac{G \hspace{.05cm} M_K}{r_K^2}$$

gdzie M_K  i r_K  to odpowiednio masa oraz promień Księżyca.

Po podstawieniu wzorów na masę m  ciała oraz przyspieszenie a_GK  do wyrażenia na siłę ciężkości F_gK, otrzymamy:

$$F_{gK} = m \hspace{.05cm} a_{GK} = \frac{F_{gZ}}{a_{GZ}} \cdot \frac{G \hspace{.05cm} M_K}{r_K^2} = \frac{200 \hspace{.05cm} \textrm{N}}{9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}} \cdot \frac{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 7,\hspace{-.1cm}36 \cdot 10^{22} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{\left( 1740 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^2} = 33,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{N}$$

Widzimy zatem, że ciężar ciała na Księżycu jest ponad sześć razy mniejszy, niż ciężar na Ziemi, ponieważ właśnie tyle razy przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu (a_GK  = 1,62 m/s²) jest mniejsze od przyspieszenia grawitacyjnego na Ziemi (a_GZ  = 9,81 m/s²).

Aby obliczyć następnie odległość r  od środka Ziemi, na której należałoby umieścić to ciało, aby jego ciężar był równy ciężarowi na Księżycu, skorzystamy z wyrażenia na przyspieszenie grawitacyjne, które dla Ziemi przyjmuje poniższą postać:

$$a_{GZ} = \frac{G \hspace{.05cm} M_Z}{r^2}$$

Po przekształceniu powyższego wzoru względem r, podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

$$r = \sqrt{\frac{G \hspace{.05cm} M_Z}{a_{GZ}}} = \sqrt{\frac{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 5,\hspace{-.1cm}98 \cdot 10^{24} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}}} = 6376 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$