Ciężar pewnego ciała umieszczonego na powierzchni Ziemi wynosi 200 N. Ile będzie ważyło to ciało na powierzchni Księżyca? W jakiej odległości od środka Ziemi należałoby umieścić to ciało, aby jego ciężar był równy ciężarowi na Księżycu? Masa i promień Księżyca są znane i wynoszą odpowiednio: MK = 7,36 ⋅ 1022 kg, rK = 1740 km. Masa Ziemi MZ jest równa 5,98 ⋅ 1024 kg.
Wartość przyspieszenia grawitacyjnego aG jest ściśle związana z masą obiektu. Ponieważ masa Księżyca jest prawie sto razy mniejsza od masy Ziemi, możemy się zatem domyślać, że wartość przyspieszenia grawitacyjnego, a więc i w konsekwencji wartość ciężaru ciała, jest mniejsza na Księżycu, niż na Ziemi. Aby obliczyć ciężar ciała na powierzchni Księżyca skorzystamy z wyrażenia na siłę ciężkości FgK, która działa na ciało ze strony Księżyca:
$$F_{gK} = m \hspace{.05cm} a_{GK}$$
gdzie aGK to przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu.
Masa ciała nie jest znana. Możemy ją jednak z łatwością wyznaczyć, ponieważ znamy ciężar tego ciała na Ziemi:
$$m = \frac{F_{gZ}}{a_{GZ}}$$
gdzie FgZ i aGZ to odpowiednio ciężar ciała oraz przyspieszenie grawitacyjne na Ziemi, którego średnia wartość tuż przy jej powierzchni wynosi 9,81 m/s2.
Przyspieszenie grawitacyjne aGK obliczymy korzystając z poniższego wzoru (zobacz: Grawitacja w pobliżu Ziemi):
$$a_{GK} = \frac{G \hspace{.05cm} M_K}{r_K^2}$$
gdzie MK i rK to odpowiednio masa oraz promień Księżyca.
Po podstawieniu wzorów na masę m ciała oraz przyspieszenie aGK do wyrażenia na siłę ciężkości FgK, otrzymamy:
$$F_{gK} = m \hspace{.05cm} a_{GK} = \frac{F_{gZ}}{a_{GZ}} \cdot \frac{G \hspace{.05cm} M_K}{r_K^2} = \frac{200 \hspace{.05cm} \textrm{N}}{9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}} \cdot \frac{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 7,\hspace{-.1cm}36 \cdot 10^{22} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{\left( 1740 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^2} = 33,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{N}$$
Widzimy zatem, że ciężar ciała na Księżycu jest ponad sześć razy mniejszy, niż ciężar na Ziemi, ponieważ właśnie tyle razy przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu (aGK = 1,62 m/s2) jest mniejsze od przyspieszenia grawitacyjnego na Ziemi (aGZ = 9,81 m/s2).
Aby obliczyć następnie odległość r od środka Ziemi, na której należałoby umieścić to ciało, aby jego ciężar był równy ciężarowi na Księżycu, skorzystamy z wyrażenia na przyspieszenie grawitacyjne, które dla Ziemi przyjmuje poniższą postać:
$$a_{GZ} = \frac{G \hspace{.05cm} M_Z}{r^2}$$
Po przekształceniu powyższego wzoru względem r, podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:
$$r = \sqrt{\frac{G \hspace{.05cm} M_Z}{a_{GZ}}} = \sqrt{\frac{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 5,\hspace{-.1cm}98 \cdot 10^{24} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}}} = 6376 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$
Loading...