Grawitacja w pobliżu Ziemi – zadanie nr 2

Grawitacja - zadania
Brak komentarzy
Drukuj

Ciężar pewnego ciała umieszczonego na powierzchni Ziemi wynosi 200 N. Ile będzie ważyło to ciało na powierzchni Księżyca? W jakiej odległości od środka Ziemi należałoby umieścić to ciało, aby jego ciężar był równy ciężarowi na Księżycu? Masa i promień Księżyca są znane i wynoszą odpowiednio: MK = 7,36 ⋅ 1022 kg, rK = 1740 km. Masa Ziemi MZ  jest równa 5,98 ⋅ 1024 kg.

rozwiązanie

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego aG  jest ściśle związana z masą obiektu. Ponieważ masa Księżyca jest prawie sto razy mniejsza od masy Ziemi, możemy się zatem domyślać, że wartość przyspieszenia grawitacyjnego, a więc i w konsekwencji wartość ciężaru ciała, jest mniejsza na Księżycu, niż na Ziemi. Aby obliczyć ciężar ciała na powierzchni Księżyca skorzystamy z wyrażenia na siłę ciężkości FgK, która działa na ciało ze strony Księżyca:

FgK=maGK

gdzie aGK  to przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu.

Masa ciała nie jest znana. Możemy ją jednak z łatwością wyznaczyć, ponieważ znamy ciężar tego ciała na Ziemi:

m=FgZaGZ

gdzie FgZ  i aGZ  to odpowiednio ciężar ciała oraz przyspieszenie grawitacyjne na Ziemi, którego średnia wartość tuż przy jej powierzchni wynosi 9,81 m/s2.

Przyspieszenie grawitacyjne aGK  obliczymy korzystając z poniższego wzoru (zobacz: Grawitacja w pobliżu Ziemi):

aGK=GMKrK2

gdzie MK  i rK  to odpowiednio masa oraz promień Księżyca.

Po podstawieniu wzorów na masę m  ciała oraz przyspieszenie aGK  do wyrażenia na siłę ciężkości FgK, otrzymamy:

FgK=maGK=FgZaGZGMKrK2=200N9,81ms26,671011Nm2kg27,361022kg(1740103m)2=33,1N

Widzimy zatem, że ciężar ciała na Księżycu jest ponad sześć razy mniejszy, niż ciężar na Ziemi, ponieważ właśnie tyle razy przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu (aGK  = 1,62 m/s2) jest mniejsze od przyspieszenia grawitacyjnego na Ziemi (aGZ  = 9,81 m/s2).

Aby obliczyć następnie odległość r  od środka Ziemi, na której należałoby umieścić to ciało, aby jego ciężar był równy ciężarowi na Księżycu, skorzystamy z wyrażenia na przyspieszenie grawitacyjne, które dla Ziemi przyjmuje poniższą postać:

aGZ=GMZr2

Po przekształceniu powyższego wzoru względem r, podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

r=GMZaGZ=6,671011Nm2kg25,981024kg9,81ms2=6376km

Dodaj komentarz