Prawo powszechnego ciążenia – zadanie nr 9

Na jakiej wysokości h  nad powierzchnią Ziemi siła przyciągania grawitacyjnego jest czterokrotnie mniejsza, niż na powierzchni Ziemi? Promień Ziemi r_Z  jest znany i wynosi 6370 km.

Gdy ciało o masie m  znajduje się na powierzchni Ziemi, siła przyciągania grawitacyjnego działająca między ciałem a Ziemią wynosi:

$$F_1 = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_Z}{r_Z^2}$$

gdzie:
G  – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10^-11 N ⋅ m²/kg²,
M_Z  – masa Ziemi,
r_Z  – promień Ziemi.

Gdy ciało to znajduje się następnie na wysokości h  nad powierzchnią Ziemi, siła przyciągania grawitacyjnego jest równa:

$$F_2 = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_Z}{\left( r_Z + h \right)^2}$$

Wielkością szukaną jest wysokość h  nad powierzchnią Ziemi, na której siła przyciągania grawitacyjnego jest czterokrotnie mniejsza, niż na powierzchni Ziemi:

$$F_2 = \tfrac{1}{4} F_1$$

Podstawiając w miejsce F₁  i F₂  powyższe zależności, dostaniemy:

$$G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_Z}{\left( r_Z + h \right)^2} = \frac{1}{4} \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_Z}{r_Z^2} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{1}{\left( r_Z + h \right)^2} = \frac{1}{4 \hspace{.05cm} r_Z^2}$$

Po odwróceniu stronami i spierwiastkowaniu, otrzymamy:

$$\sqrt{\left( r_Z + h \right)^2} = \sqrt{4 \hspace{.05cm} r_Z^2} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} r_Z + h = 2 \hspace{.05cm} r_Z$$

W konsekwencji:

$$h = r_Z = 6370 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$