Prawo powszechnego ciążenia – zadanie nr 9
Na jakiej wysokości h nad powierzchnią Ziemi siła przyciągania grawitacyjnego jest czterokrotnie mniejsza, niż na powierzchni Ziemi? Promień Ziemi rZ jest znany i wynosi 6370 km.
Gdy ciało o masie m znajduje się na powierzchni Ziemi, siła przyciągania grawitacyjnego działająca między ciałem a Ziemią wynosi:
$$F_1 = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_Z}{r_Z^2}$$
gdzie:
G – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10-11 N ⋅ m2/kg2,
MZ – masa Ziemi,
rZ – promień Ziemi.
Gdy ciało to znajduje się następnie na wysokości h nad powierzchnią Ziemi, siła przyciągania grawitacyjnego jest równa:
$$F_2 = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_Z}{\left( r_Z + h \right)^2}$$
Wielkością szukaną jest wysokość h nad powierzchnią Ziemi, na której siła przyciągania grawitacyjnego jest czterokrotnie mniejsza, niż na powierzchni Ziemi:
$$F_2 = \tfrac{1}{4} F_1$$
Podstawiając w miejsce F1 i F2 powyższe zależności, dostaniemy:
$$G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_Z}{\left( r_Z + h \right)^2} = \frac{1}{4} \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_Z}{r_Z^2} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{1}{\left( r_Z + h \right)^2} = \frac{1}{4 \hspace{.05cm} r_Z^2}$$
Po odwróceniu stronami i spierwiastkowaniu, otrzymamy:
$$\sqrt{\left( r_Z + h \right)^2} = \sqrt{4 \hspace{.05cm} r_Z^2} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} r_Z + h = 2 \hspace{.05cm} r_Z$$
W konsekwencji:
$$h = r_Z = 6370 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$
Dodaj komentarz