Prawo powszechnego ciążenia – zadanie nr 8

Odległość Księżyca od Ziemi wynosi w przybliżeniu R  = 3,8 ⋅ 10⁵ km. W jakiej odległości od Ziemi siły grawitacji pochodzące od Księżyca i Ziemi się równoważą? Przyjmij, że masa Ziemi jest 81 razy większa od masy Księżyca.

Zacznijmy od stworzenia odpowiedniego rysunku schematycznego:

Punkt P to punkt, w którym umieszczamy tzw. masę próbną m, czyli ciało o jednostkowej masie (m  = 1 kg) – w tym punkcie siły przyciągania grawitacyjnego Ziemi i Księżyca, działające na masę próbną, równoważą się. Zgodnie z rysunkiem x  to odległość od środka Ziemi do punktu P, a (R  – x ) to odległość od środka Księżyca do punktu P.

Wielkością szukaną jest x. Aby ją wyznaczyć skorzystamy z warunku równowagi sił przyciągania grawitacyjnego Ziemi i Księżyca w punkcie P:

$$G \hspace{.05cm} \frac{M_Z \hspace{.05cm} m}{x^2} = G \hspace{.05cm} \frac{M_K \hspace{.05cm} m}{\left( R \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \right)^2}$$

gdzie:
G  – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10^-11 N ⋅ m²/kg²,
M_Z  – masa Ziemi,
M_K  – masa Księżyca,
m  – masa próbna,
R  – odległość Ziemia – Księżyc.

Po skróceniu i odwróceniu stronami powyższego równania, otrzymamy:

$$M_Z \hspace{.05cm} \left( R \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \right)^2 = M_K \hspace{.05cm} x^2$$

Wiemy, że M_Z  = 81 M_K , w związku z czym:

$$81 \hspace{.07cm} M_K \hspace{.05cm} \left( R \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \right)^2 = M_K \hspace{.05cm} x^2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} 81 \hspace{.05cm} \left( R \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \right)^2 = x^2$$

Po spierwiastkowaniu powyższej zależności oraz przekształceniu jej względem szukanej odległości x , dostaniemy:

$$9 \hspace{.07cm} \left( R \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \right) = x \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} x = \tfrac{9}{10} \hspace{.05cm} R$$

Wiedząc, że R  = 3,8 ⋅ 10⁵ km, mamy:

$$x = \tfrac{9}{10} \hspace{.05cm} R = \tfrac{9}{10} \cdot 3,\hspace{-.05cm}8 \cdot 10^5 \hspace{.05cm} \textrm{km} = 3,\hspace{-.05cm}42 \cdot 10^5 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$