Prawo powszechnego ciążenia – zadanie nr 8
Odległość Księżyca od Ziemi wynosi w przybliżeniu R = 3,8 ⋅ 105 km. W jakiej odległości od Ziemi siły grawitacji pochodzące od Księżyca i Ziemi się równoważą? Przyjmij, że masa Ziemi jest 81 razy większa od masy Księżyca.
Zacznijmy od stworzenia odpowiedniego rysunku schematycznego:

Punkt P to punkt, w którym umieszczamy tzw. masę próbną m, czyli ciało o jednostkowej masie (m = 1 kg) – w tym punkcie siły przyciągania grawitacyjnego Ziemi i Księżyca, działające na masę próbną, równoważą się. Zgodnie z rysunkiem x to odległość od środka Ziemi do punktu P, a (R – x ) to odległość od środka Księżyca do punktu P.
Wielkością szukaną jest x. Aby ją wyznaczyć skorzystamy z warunku równowagi sił przyciągania grawitacyjnego Ziemi i Księżyca w punkcie P:
$$G \hspace{.05cm} \frac{M_Z \hspace{.05cm} m}{x^2} = G \hspace{.05cm} \frac{M_K \hspace{.05cm} m}{\left( R \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \right)^2}$$
gdzie:
G – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10-11 N ⋅ m2/kg2,
MZ – masa Ziemi,
MK – masa Księżyca,
m – masa próbna,
R – odległość Ziemia – Księżyc.
Po skróceniu i odwróceniu stronami powyższego równania, otrzymamy:
$$M_Z \hspace{.05cm} \left( R \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \right)^2 = M_K \hspace{.05cm} x^2$$
Wiemy, że MZ = 81 MK , w związku z czym:
$$81 \hspace{.07cm} M_K \hspace{.05cm} \left( R \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \right)^2 = M_K \hspace{.05cm} x^2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} 81 \hspace{.05cm} \left( R \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \right)^2 = x^2$$
Po spierwiastkowaniu powyższej zależności oraz przekształceniu jej względem szukanej odległości x , dostaniemy:
$$9 \hspace{.07cm} \left( R \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \right) = x \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} x = \tfrac{9}{10} \hspace{.05cm} R$$
Wiedząc, że R = 3,8 ⋅ 105 km, mamy:
$$x = \tfrac{9}{10} \hspace{.05cm} R = \tfrac{9}{10} \cdot 3,\hspace{-.05cm}8 \cdot 10^5 \hspace{.05cm} \textrm{km} = 3,\hspace{-.05cm}42 \cdot 10^5 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$
Dodaj komentarz