Prawo powszechnego ciążenia – zadanie nr 7

Ile musiałaby trwać doba na Ziemi, aby ciała na równiku nic nie ważyły? Promień Ziemi r_Z  = 6370 km, masa Ziemi M_Z  = 6 ⋅ 10²⁴ kg.

Gdy na równiku będziemy chcieli dokonać pomiaru masy dowolnego ciała np. przy użyciu wagi sprężynowej, wówczas wartość siły ciężkości F_g , z jaką ciało będzie oddziaływać na wagę, będzie pomniejszona o wartość siły dośrodkowej F_dos  (zobacz: Prawo powszechnego ciążenia – zadanie nr 5). Podstawiając w miejsce siły ciężkości wzór na siłę przyciągania grawitacyjnego działającą pomiędzy ciałem a Ziemią, wyrażenie opisujące nacisk ciała na wagę sprężynową będzie równy:

$$N = F_g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} F_{dos} = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_Z}{r_Z^2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} r_Z$$

gdzie:
G  – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10^-11 N ⋅ m²/kg²,
m  – masa ciała,
M_Z  – masa Ziemi,
r_Z  – promień Ziemi,
ω  – prędkość kątowa Ziemi.

Aby ciała znajdujące się na równiku Ziemi nic nie ważyły tj. wskazania wagi sprężynowej były równe zero, siła dośrodkowa musi mieć taką samą wartość co siła przyciągania grawitacyjnego, bo tylko wtedy N  = 0:

$$G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_Z}{r_Z^2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} r_Z = 0 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{r_Z^2} = \omega^2 \hspace{.05cm} r_Z$$

Prędkość kątowa Ziemi wynosi  $\omega = \dfrac{2 \pi}{T}$,  w związku z czym:

$$G \hspace{.05cm} \frac{M_Z}{r_Z^2} = \left( \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T} \right)^2 r_Z = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{T^2} r_Z$$

gdzie T  to okres obrotu Ziemi wokół własnej osi.

Po przekształceniu powyższej zależności względem okresu T  oraz spierwiastkowaniu, otrzymamy:

$$T^2 = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} r_Z^3}{G \hspace{.05cm} M_Z} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} T = 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r_Z \hspace{.05cm} \sqrt{\frac{r_Z}{G \hspace{.05cm} M_Z}}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych i wykonaniu obliczeń, dostaniemy szukaną wartość T  równą:

$$T = 2 \cdot 3,\hspace{-.1cm}14 \cdot 6,\hspace{-.1cm}37 \cdot 10^6 \hspace{.05cm} \textrm{m} \cdot
\sqrt{\frac{6,\hspace{-.1cm}37 \cdot 10^6 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}} = 5047 \hspace{.05cm} \textrm{s} = 1,\hspace{-.1cm}4 \hspace{.05cm} \textrm{h}$$

Aby ciała na równiku nic nie ważyły, okres obrotu Ziemi wokół własnej osi musiałby trwać 1,4 godziny tj. 84 minuty.