Względność prędkości – zadanie nr 3

Statek kosmiczny, którego długość spoczynkowa L₀  wynosi 500 metrów, porusza się względem pewnego układu odniesienia z prędkością 0,85 c. Wzdłuż statku w kierunku przeciwnym przelatuje meteoroid, którego prędkość również wynosi 0,85 c. Oblicz jak długo zdaniem obserwatora znajdującego się na pokładzie statku kosmicznego meteoroid będzie mijać statek.

Rozwiązanie tego zadania będzie wymagało odwołania się do teorii dotyczącej względności czasu, skrócenia długości oraz względności prędkości. W pierwszym kroku musimy ustalić z jaką prędkością względem układu odniesienia związanego ze statkiem kosmicznym porusza się meteoroid. Załóżmy, że ruch meteoroidu z prędkością u  = 0,85 c  (prędkość meteoroidu zmierzona względem jego układu odniesienia) odbywa się w dodatnim kierunku, zaś statku kosmicznego z prędkością V  = 0,85 c  – w kierunku ujemnym. W związku z tym prędkość u’, z jaką względem statku kosmicznego porusza się meteoroid jest równa:

$$u’ = \frac{u \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} V \right)}{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{u \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} V \right)}{c^2}} = \frac{0,\hspace{-.1cm}85 \hspace{.05cm} \textrm{c} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 0,\hspace{-.1cm}85 \hspace{.05cm} \textrm{c} \right)}{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \dfrac{0,\hspace{-.1cm}85 \hspace{.05cm} \textrm{c} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 0,\hspace{-.1cm}85 \hspace{.05cm} \textrm{c} \right)}{c^2}} = 0,\hspace{-.1cm}99 \hspace{.05cm} \textrm{c}$$

Znając wartość prędkości u’  obliczmy czas mijania statku kosmicznego przez poruszający się z dużą prędkością meteoroid. Zdaniem obserwatora znajdującego się na pokładzie statku kosmicznego pomiar odstępu czasu związanego z przelotem meteoroidu wzdłuż statku o długości L₀  będzie wymagał użycia dwóch zsynchronizowanych zegarów. Wielkością szukaną jest zatem odstęp czasu Δt  opisany poniższym równaniem:

$$\Delta \hspace{.03cm} t = \frac{L_0}{u’}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych w miejsce L₀  oraz u’  oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy rozwiązanie zadania:

$$\Delta \hspace{.03cm} t = \frac{500 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{0,\hspace{-.1cm}99 \hspace{.05cm} \textrm{c}} = \frac{500 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{0,\hspace{-.1cm}99 \cdot 2,\hspace{-.1cm}99 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}} = 1,\hspace{-.1cm}7 \cdot 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{s} = 1,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} \mu \textrm{s}$$