Transformacja Lorentza – zadanie nr 1

Obserwator związany z układem odniesienia W  stwierdza, że współrzędne pewnego zdarzenia są równe x  = 30 km i t  = 1 μs. Oblicz ile wynoszą współrzędne tego zdarzenia zmierzone w układzie odniesienia W’  poruszającego się względem układu W  w dodatnim kierunku osi x  z prędkością 0,99 c. Załóż, że w chwili t  = t’  = 0 współrzędne położenia wynoszą x  = x’  = 0.

W zadaniu możemy wyróżnić dwa układy odniesienia – układ W  oraz W’  – poruszające się względem siebie z prędkością względną równą 0,99 c. W oparciu o wyniki pomiarów współrzędnej przestrzennej x  oraz czasowej t  wykonanych w układzie odniesienia W  dla pewnego zdarzenia, należy obliczyć, dla tego samego zdarzenia, wartość współrzędnych x’  oraz t’  w układzie W’. W tym celu musimy dokonać transformacji współrzędnych zmierzonych w układzie W  do układu W’. Prędkość względna układów W  i W’  jest bardzo bliska prędkości światła c, dlatego też będziemy musieli skorzystać z wyrażeń opisujących transformację relatywistyczną nazywaną potocznie transformacją Lorentza, która dla współrzędnych x’  oraz t’  wyraża się następująco:

$$x’ = \gamma \left( x \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V \hspace{.05cm} t \right)$$

$$t’ = \gamma \left( t \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{V \hspace{.05cm} x}{c^2} \right)$$

gdzie γ  to współczynnik Lorentza równy  $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{V}{c} \right)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \beta^2}}$.

Po podstawieniu do powyższych równań wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń otrzymamy wartość współrzędnej x’  oraz t’  będących rozwiązaniem tego zadania:

$$x’ = \frac{1}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{0,99 \hspace{.05cm} c}{c} \right)^2}} \cdot \left( 30 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 0,\hspace{-.1cm}99 \cdot 3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \cdot 1 \cdot 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{s} \right) = 211 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$

$$t’ = \frac{1}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{0,99 \hspace{.05cm} c}{c} \right)^2}} \cdot \left( 1 \cdot 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{s} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{0,\hspace{-.1cm}99 \cdot 3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \cdot 30 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{\left( 3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \right)^2} \right) = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 695 \hspace{.05cm} \mu\textrm{s}$$

Znak minus stojący przed wartością czasu t’  oznacza, że zdarzenie, którego współrzędne w układzie W’  należało obliczyć, zostało wcześniej zarejestrowane w układzie W’, aniżeli w układzie W.