Transformacja Lorentza – zadanie nr 2

Naukowiec związany z układem odniesienia W  wyzwala w tym samym czasie dwie lampy błyskowe. Efektem tego zdarzenia jest słaby błysk w początku jego układu współrzędnych oraz silny błysk w odległości x  = 5 km. Obserwator w układzie W’  poruszający się w dodatnim kierunku osi x  z prędkością 0,42 c  również zauważa błyski. Oblicz odstęp czasu pomiędzy błyskami zmierzony przez obserwatora. Na podstawie uzyskanego wyniku wskaż, który błysk, zdaniem obserwatora, nastąpił wcześniej.

Na początku wprowadźmy oznaczenia: x_sl  i t_sl  to współrzędna przestrzenna i czasowa słabego błysku zarejestrowana w układzie odniesienia związanym z naukowcem, z kolei x_si  i t_si  to współrzędne silnego błysku (zmierzone również w układzie naukowca). Analogicznych oznaczeń dokonamy dla układu związanego z obserwatorem: x’_sl  i t’_sl  – współrzędne słabego błysku, x’_si  i t’_si  – współrzędne silnego błysku. Zgodnie z treścią zadania, słabszy oraz silniejszy błysk zostały, przez naukowca, wyzwolone w tym samym czasie, dlatego też:

$$t_{sl} = t_{si}$$

Wiemy także, że współrzędne przestrzenne dla słabego oraz silnego błysku zarejestrowane w układzie naukowca wynoszą odpowiednio x_sl  = 0 km oraz x_si  = 5 km. Układ W’  związany z obserwatorem porusza się względem układu W  z prędkością 0,42 c, tak więc aby obliczyć odstęp czasowy Δt’  pomiędzy błyskami zmierzonymi przez obserwatora w układzie W’  będziemy musieli skorzystać z transformacji Lorentza. Ponieważ odstęp czasowy Δt’  jest równy:

$$\Delta \hspace{.03cm} t’ = t’_{si} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} t’_{sl}$$

musimy zatem znaleźć wyrażenia definiujące czasy t’_si  oraz t’_sl. Korzystając z transformacji Lorentza, współrzędną czasową dla słabego oraz silnego błysku możemy zapisać jako:

$$t’_{sl} = \gamma \left( t_{sl} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{V \hspace{.05cm} x_{sl}}{c^2} \right)$$

$$t’_{si} = \gamma \left( t_{si} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{V \hspace{.05cm} x_{si}}{c^2} \right)$$

Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru na Δt’, otrzymamy:

$$\Delta \hspace{.03cm} t’ = \gamma \left( t_{si} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{V \hspace{.05cm} x_{si}}{c^2} \right) \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \gamma \left( t_{sl} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{V \hspace{.05cm} x_{sl}}{c^2} \right)$$

Po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias oraz skorzystaniu z faktu, że t_si  = t_sl , uzyskamy:

$$\Delta \hspace{.03cm} t’ = \gamma \left( t_{sl} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{V \hspace{.05cm} x_{si}}{c^2} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} t_{sl} + \frac{V \hspace{.05cm} x_{sl}}{c^2} \right)$$

i w konsekwencji:

$$\Delta \hspace{.03cm} t’ = \frac{\gamma \hspace{.05cm} V}{c^2} \left( x_{sl} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} x_{si} \right)$$

Po podstawieniu do powyższego równania wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy rozwiązanie zadania:

$$\Delta \hspace{.03cm} t’ = \frac{1}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \left( \frac{0,42 \hspace{.05cm} c}{c} \right)^2}} \cdot \frac{0,\hspace{-.1cm}42 \cdot 3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{\left( 3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \right)^2} \cdot \left(0 \hspace{.05cm} \textrm{m} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 5 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right) = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 7,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} \mu\textrm{s}$$

Znak minus stojący przed wartością Δt’  oznacza, że zdaniem obserwatora silniejszy błysk nastąpił wcześniej, aniżeli błysk słabszy. Innymi słowy, obserwator związany z układem W’  zarejestrował wyemitowane błyski w odwrotnej kolejności, niż naukowiec w układzie W.