Względność prędkości – zadanie nr 2

Układ W’  porusza się względem układu W  z prędkością 0,7 c  w dodatnim kierunku osi x. Prędkość pewnej cząstki elementarnej zmierzona w układzie odniesienia W’  wynosi 0,5 c  i posiada zwrot zgodny z dodatnim kierunkiem osi x’. Ile wynosi prędkość tej cząstki w układzie odniesienia W ? Oblicz ile wynosiłaby prędkość cząstki w układzie W, gdyby w układzie W’  poruszała się ona z prędkością 0,5 c  w ujemnym kierunku osi x’.

Zadanie bardzo podobne do zadania Względność prędkości – zadanie nr 1. W tym zadaniu możemy wyróżnić dwa układy odniesienia: W  oraz W’  poruszające się względem siebie z prędkością 0,7 c. Wielkością, którą szukamy jest prędkość u  cząstki elementarnej, jaką zmierzy obserwator związany z układem odniesienia W. Zgodnie z pierwszą częścią zadania, cząstka porusza się w dodatnim kierunku osi x’  układu odniesienia W’, z kolei zgodnie z drugą częścią – w ujemnym kierunku osi x’. Aby obliczyć wartość prędkości u  posłużymy się następującym wzorem (zobacz: Względność prędkości):

$$u = \frac{u’ + V}{1 + \frac{u’ \hspace{.05cm} V}{c^2}}$$

gdzie:
u’  – prędkość cząstki zmierzona w układzie W’,
V  – prędkość z jaką układ W’  porusza się względem układu W.

W pierwszym przypadku wektor prędkości u’  cząstki elementarnej jest zgodny z dodatnim kierunkiem osi x’, zatem prędkość cząstki, jaką zmierzy obserwator w układzie W  będzie równa:

$$u = \frac{u’ + V}{1 + \frac{u’ \hspace{.05cm} V}{c^2}} = \frac{0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} c + 0,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} c}{1 + \dfrac{0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} c \cdot 0,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} c}{c^2}} = 0,\hspace{-.1cm}89 \hspace{.05cm} c$$

W drugim przypadku cząstka porusza się w ujemnym kierunku osi x’, dlatego też tym razem prędkość u  wyniesie:

$$u = \frac{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} u’ + V}{1 + \frac{u’ \hspace{.05cm} V}{c^2}} = \frac{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} c + 0,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} c}{1 + \dfrac{\left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} c \right) \cdot 0,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} c}{c^2}} = 0,\hspace{-.1cm}31 \hspace{.05cm} c$$