Względność prędkości – zadanie nr 1

Pewna cząstka elementarna porusza się z prędkością 0,3 c  względem osi x’  związanej z układem odniesienia W’. Oblicz jaką prędkość cząstki zmierzy obserwator w spoczynkowym układzie W, jeżeli układ W’  porusza się względem układu W  z prędkością 0,5 c.

W zadaniu możemy wyróżnić dwa inercjalne układy odniesienia: układ spoczynkowy W  oraz układ W’  poruszający się względem układu W  z prędkością V  = 0,5 c. Sytuację tą przedstawia poniższy rysunek:

Zgodnie z rysunkiem wielkością szukaną jest prędkość u. Aby ją wyznaczyć skorzystamy ze wzoru opisującego relatywistyczną transformację prędkości, ponieważ zarówno prędkość V, jak i u’  są bliskie prędkości światła w próżni c :

$$u = \frac{u’ + V}{1 + \frac{u’ \hspace{.05cm} V}{c^2}}$$

Podstawiając w miejsce V  oraz u’  wartość 0,5 c  oraz 0,3 c  otrzymamy wartość prędkości u  będącą rozwiązaniem zadania:

$$u = \dfrac{0,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} c + 0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} c}{1 + \dfrac{0,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} c \cdot 0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} c}{c^2}} = 0,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} c$$