Ruch jednostajnie przyspieszony – zadanie nr 5

Ciało o masie 4 kg rozpędzało się przez 6 sekund od prędkości V₁  = 12 m/s do prędkości V₂  = 36 m/s. Przez następne 4 sekundy poruszało się z prędkością V₂, a następnie w ciągu 2 sekund wyhamowało do prędkości V₃  = 0 m/s. Oblicz całkowitą drogę s  oraz wartość sił powodujących rozpędzanie oraz hamowanie ciała.

Na początek określmy rodzaj ruchu ciała dla każdego z trzech opisanych w zadaniu zdarzeń. W pierwszym etapie prędkość ciała zmieniła się z V₁  = 12 m/s do V₂  = 36 m/s, zatem, przy założeniu stałej wartości przyspieszenia, ciało poruszało się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Podczas trwania drugiego etapu prędkość ciała była stała w czasie, w związku z czym ciało poruszało się ruchem jednostajnym prostoliniowym. W trzecim etapie prędkość ciała zmalała z V₂  = 36 m/s do V₃  = 0 m/s, zatem ciało poruszało się ruchem jednostajnie przyspieszonym, przy czym przyspieszenie a  < 0 – tzw. ruch jednostajnie opóźniony.

Etap pierwszy

Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

$$s_1 = V_1 \hspace{.05cm} t_1 + \frac{a_1 \hspace{.05cm} t_1^2}{2}$$

gdzie:
V₁  – prędkość początkowa ciała,
t₁  – czas trwania pierwszego etapu ruchu ciała,
a₁  – przyspieszenie ciała.

W tym przypadku prędkość początkowa ciała V₁  = 12 m/s. Przyspieszenie a₁  wyznaczymy ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

$$V_2 = V_1 + a_1 \hspace{.05cm} t_1$$

Po przekształceniu powyższego wzoru względem przyspieszenia a₁, dostaniemy:

$$a_1 = \frac{V_2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V_1}{t_1}$$

Po podstawieniu wzoru na przyspieszenie a₁  ciała do wzoru na drogę s₁, otrzymamy:

$$s_1 = V_1 \hspace{.05cm} t_1 + \frac{V_2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V_1}{2 \hspace{.1cm} t_1} \cdot t_1^2 = V_1 \hspace{.05cm} t_1 + \frac{V_2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V_1}{2} \cdot t_1 = t_1 \left( \frac{V_1 + V_2}{2} \right)$$

i w konsekwencji:

$$s_1 = 6 \hspace{.05cm} \textrm{s} \cdot \left( \frac{36 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} + 12 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{2} \right) = 144 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Siła F_r , która spowodowała rozpędzenie ciała z V₁ do V₂ była równa (korzystamy z drugiej zasady dynamiki Newtona):

$$F_r = m \hspace{.05cm} a_1 = m \cdot \left( \frac{V_2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V_1}{t_1} \right) = 4 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot \left( \frac{36 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 12 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{6 \hspace{.05cm} \textrm{N}} \right) = 16 \hspace{.05cm} \textrm{N}$$

Etap drugi

Wzór na drogę s₂  przebytą przez samochód poruszający się ruchem jednostajnym prostoliniowym wynosi:

$$s_2 = V_2 \hspace{.05cm} t_2$$

Wiemy, że V₂ = 36 m/s, t  = 4 s, zatem:

$$s_2 = 36 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \cdot 4 \hspace{.05cm} \textrm{s} = 144 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Etap trzeci

Wzór na prędkość oraz drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym:

$$V_3 = V_2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} a_3 \hspace{.05cm} t_3$$

$$s_3 = V_2 \hspace{.05cm} t_3 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{a_3 \hspace{.05cm} t_3^2}{2}$$

Ponieważ V₃ = 0 m/s, dlatego:

$$0 = V_2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} a_3 \hspace{.05cm} t_3 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} V_2 = a_3 \hspace{.05cm} t_3 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} a_3 = \frac{V_2}{t_3}$$

Po podstawieniu wzoru na a₃  do wzoru na drogę s₃, otrzymamy:

$$s_3 = V_2 \hspace{.05cm} t_3 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{V_2}{t_3} \cdot \frac{t_3^2}{2} = V_2 \hspace{.05cm} t_3 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{V_2 \hspace{.05cm} t_3}{2} = \frac{V_2 \hspace{.05cm} t_3}{2}$$

i w efekcie:

$$s_3 = \frac{36 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \cdot 2 \hspace{.05cm} \textrm{s}}{2} = 36 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Siła hamowania F_h  samochodu była równa:

$$F_h = m \hspace{.05cm} a_3 = m \cdot \frac{V_2}{t_3} = 4 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot \frac{36 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{2 \hspace{.05cm} \textrm{s}} = 72 \hspace{.05cm} \textrm{N}$$

Całkowita droga przebyta przez ciało

Znając drogę s₁, s₂ i s₃ przebytą przez samochód podczas każdego z opisanych wyżej etapów, możemy obliczyć całkowitą drogę s :

$$s = s_1 + s_2 + s_3 = 144 \hspace{.05cm} \textrm{m} + 144 \hspace{.05cm} \textrm{m} + 36 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 324 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$