Ruch jednostajnie przyspieszony – zadanie nr 6

Ciało poruszające się ruchem jednostajnie przyspieszonym w czasie piątej sekundy ruchu przebyło drogę 18 m. Z jakim stałym przyspieszeniem a  poruszało się to ciało?

Zacznijmy od zapisania wzorów na prędkość V  oraz drogę s  w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

$$V = a \hspace{.05cm} t + V_0$$

$$s = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} a \hspace{.05cm} t^2 + V_0 \hspace{.1cm} t$$

(zakładamy, że s₀  = 0 m)

Piąta sekunda ruchu ciała odpowiada przedziałowi czasu t  ∈ [4 s, 5 s). Prędkość początkową ciała dla t  = 4 s oznaczmy jako V₀₄.

Zgodnie z teorią, prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym zmienia się w sposób liniowy, w związku z czym podczas trwania każdej sekundy tego ruchu prędkość ciała zmienia się o stałą wielkość równą at.  Oznacza to, że prędkość początkowa ciała na początku piątej sekundy ruchu będzie równa V₀₄ = 4 at.

Oznaczając drogę przebytą przez ciało w piątej sekundzie ruchu jako s₅, przedział czasu odpowiadający piątej sekundzie ruchu jako Δt_4-5 oraz podstawiając w miejsce V₀  wyrażenie 4 a Δt_4-5, dostaniemy wzór na drogę równy:

$$s_5 = V_0 \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} t_{4-5} + \frac{a \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} t^2_{4-5}}{2} = 4 \hspace{.05cm} a \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} t^2_{4-5} + \frac{a \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} t^2_{4-5}}{2} = \tfrac{9}{2} \hspace{.05cm} a \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} t^2_{4-5}$$

Wiemy, że droga s  przebyta przez ciało w 5-tej sekundzie ruchu wyniosła 18 m. Gdy w miejsce Δt_4-5 wstawimy 1 s (piąta sekunda ruchu to czas zawarty w przedziale [4 s, 5 s)) oraz, gdy przekształcimy powyższe równanie względem przyspieszenia a, otrzymamy:

$$a = \frac{2}{9} \cdot \frac{s_5}{\Delta \hspace{.03cm} t^2_{4-5}} = \frac{2}{9} \cdot \frac{18 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{\left( 1 \hspace{.05cm} \textrm{s} \right)^2} = 4 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}$$