Prawa Keplera – zadanie nr 4

Oblicz prędkość liniową satelity Ziemi poruszającego się po orbicie kołowej odległej o 250 km od powierzchni Ziemi. Ile wynosi okres T  obiegu Ziemi przez tego satelitę? Masa Ziemi wynosi M_z  = 6 ⋅ 10²⁴ kg, a promień Ziemi jest równy r_z  = 6370 km.

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia satelita i Ziemia oddziałują na siebie wzajemnie siłą grawitacji o wartości

$$F = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_z}{r^2} = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_z}{\left( r_z + h \right)^2}$$

gdzie:
G  – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10^-11 N ⋅ m²/kg²,
m  – masa satelity,
M_z  – masa Ziemi,
r  – odległość pomiędzy środkiem satelity i Ziemi, równa r_z  + h,
r_z  – promień Ziemi,
h  – wysokość satelity nad powierzchnią Ziemi.

Pod wpływem siły grawitacji satelita porusza się z przyspieszeniem dośrodkowym a  skierowanym do środka Ziemi, o wartości:

$$a = \frac{V^2}{r_z + h}$$

gdzie V  to prędkość liniowa satelity.

Zapisując dla tego satelity drugą zasadę dynamiki Newtona oraz wstawiając w miejsce a  wzór na przyspieszenie dośrodkowe, dostaniemy:

$$G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_z}{\left( r_z + h \right)^2} = \frac{m \hspace{.05cm} V^2}{r_z + h}$$

Po spierwiastkowaniu powyższego wyrażenia oraz przekształceniu go względem prędkości V, otrzymamy:

$$V = \sqrt{\frac{G \hspace{.05cm} M_z}{r_z + h}}$$

i w konsekwencji wartość prędkości liniowej satelity, równą:

$$V = \sqrt{\frac{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \frac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{6370 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m} + 250 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m}}} = 7,\hspace{-.1cm}8 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} = 7,\hspace{-.1cm}8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{km}}{\textrm{s}}$$

Okres T  obiegu Ziemi przez satelitę obliczymy korzystając z trzeciego prawa Keplera, zgodnie z którym:

$$T^2 = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M_z} \hspace{.05cm} \left(r_z + h \right)^3$$

Pierwiastkując powyższą zależność, wstawiając do niej wartości liczbowe oraz wykonując obliczenia, dostaniemy wartość T  równą:

$$T = \sqrt{\frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M_z} \hspace{.05cm} \left(r_z + h \right)^3} = \sqrt{\frac{4 \cdot \left( 3,\hspace{-.1cm}14 \right)^2 \cdot \left( 6370 \hspace{.05cm} \textrm{km} + 250 \hspace{.05cm} \textrm{km} \right)^3}{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \frac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot \left( 3,\hspace{-.1cm}14 \right)^2 \cdot \left( 6620 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^3}{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \frac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}} = 5347 \hspace{.05cm} \textrm{s} \sim 1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{h}$$