Prawa Keplera – zadanie nr 5

Oblicz ile czasu trwa pełen obrót Marsa wokół Słońca, jeżeli średnia odległość Marsa od Słońca wynosi 1,52 au. Masa Słońca jest znana i wynosi 2 ⋅ 10³⁰ kg.

Aby obliczyć ile czasu trwa pełen obrót Marsa wokół Słońca skorzystamy z trzeciego prawa Keplera, zgodnie z którym kwadrat okresu T  ruchu planety po orbicie wokół Słońca jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej a  tej orbity. Treść tego prawa opisuje poniższy wzór:

$$T^2 = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} a^3$$

gdzie:
G  – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10^-11 N ⋅ m²/kg²,
M  – masa Słońca,
a  – półoś wielka orbity Marsa odpowiadająca średniej odległości Marsa od Słońca.

Po spierwiastkowaniu powyższego równania, otrzymamy:

$$T = \sqrt{\frac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} a^3}$$

Odległość Marsa od Słońca podana w treści zadania, wyrażona jest w jednostkach astronomicznych (ang. astronomical unit – ozn. au), dlatego też przed podstawieniem jej do powyższego wzoru musimy najpierw wyrazić ją w podstawowej jednostce długości w układzie SI, czyli w metrach. Jednostka astronomiczna to pozaukładowa jednostka odległości (używana głównie w astronomii) równa 149 597 870 700 m – odległość ta odpowiada średniej odległości Ziemi od Słońca. W związku z tym:

$$1,\hspace{-.1cm}52 \hspace{.1cm} \textrm{a.u.} = 227388763464 \hspace{.1cm} \textrm{m}$$

Znając odległość Marsa od Słońca wyrażoną w metrach możemy już obliczyć okres pojedynczego obrotu tej planety wokół Słońca:

$$T = \sqrt{\frac{4 \cdot \left( 3,\hspace{-.1cm}14 \right)^2 \cdot \left( 227388763464 \hspace{.1cm} \textrm{m} \right)^3}{6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \frac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 2 \cdot 10^{30} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}} = 5,\hspace{-.1cm}9 \cdot 10^7 \hspace{.05cm} \textrm{s}$$

Okres ten wynosi w przybliżeniu 2 lata (dokładna wartość: 1,87 lat).