Prawa Keplera – zadanie nr 5

Oblicz ile czasu trwa pełen obrót Marsa wokół Słońca, jeżeli średnia odległość Marsa od Słońca wynosi 1,52 au. Masa Słońca jest znana i wynosi 2 ⋅ 10³⁰ kg.

Aby obliczyć ile czasu trwa pełen obrót Marsa wokół Słońca skorzystamy z trzeciego prawa Keplera, zgodnie z którym kwadrat okresu T  ruchu planety po orbicie wokół Słońca jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej a  tej orbity. Treść tego prawa opisuje poniższy wzór:

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

gdzie:
G  – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10^-11 N ⋅ m²/kg²,
M  – masa Słońca,
a  – półoś wielka orbity Marsa odpowiadająca średniej odległości Marsa od Słońca.

Po spierwiastkowaniu powyższego równania, otrzymamy:

$$T=\sqrt{\frac{\phantom{(}4{\pi }^2}{GM}{a}^3}$$

Odległość Marsa od Słońca podana w treści zadania, wyrażona jest w jednostkach astronomicznych (ang. astronomical unit – ozn. au), dlatego też przed podstawieniem jej do powyższego wzoru musimy najpierw wyrazić ją w podstawowej jednostce długości w układzie SI, czyli w metrach. Jednostka astronomiczna to pozaukładowa jednostka odległości (używana głównie w astronomii) równa 149 597 870 700 m – odległość ta odpowiada średniej odległości Ziemi od Słońca. W związku z tym:

$$1,52\text{a.u.}=227388763464\text{m}$$

Znając odległość Marsa od Słońca wyrażoną w metrach możemy już obliczyć okres pojedynczego obrotu tej planety wokół Słońca:

$$T=\sqrt{\frac{4\cdot {(3,14)}^2\cdot {\left(227388763464\text{m}\right)}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 2\cdot {10}^{30}\text{kg}}}=5,9\cdot {10}^7\text{s}$$

Okres ten wynosi w przybliżeniu 2 lata (dokładna wartość: 1,87 lat).