Prawa Keplera – zadanie nr 6

06 października 2012

Korzystając z trzeciego prawa Keplera oblicz ile razy rok na Plutonie jest dłuższy od roku ziemskiego. Odległość Plutona od Słońca jest 39,5 razy większa, niż odległość Ziemi od Słońca.

rozwiązanie

Zgodnie z trzecim prawem Keplera okres obiegu T  planety po orbicie wokół Słońca wynosi:

$$T^2 = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} r^3 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} T = \sqrt{\frac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} r^3}$$

gdzie:
r  – odległość planety od Słońca,
G  – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10-11 N ⋅ m2/kg2,
M  – masa Słońca.

Oznaczmy odległość Słońce – Ziemia jako rSZ , z kolei odległość Słońce – Pluton jako rSP . Zgodnie z treścią zadania rSP  = 39,5 rSZ .

Zgodnie z wprowadzonymi oznaczeniami, okres obiegu Ziemi wokół Słońca jest równy:

$$T_Z = \sqrt{\frac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} r^3_{SZ}}$$

a okres obiegu Plutona wynosi:

$$T_P = \sqrt{\frac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} r^3_{SP}} = \sqrt{\frac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \cdot \left( 39,\hspace{-.1cm}5 \right)^3 \hspace{.05cm} r^3_{SZ}}$$

Wielkością szukaną jest stosunek TP  / TZ , zatem:

$$\frac{T_P}{T_Z} = \frac{\sqrt{\dfrac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \cdot \left( 39,\hspace{-.1cm}5 \right)^3 \hspace{.05cm} r^3_{SZ}}}{\sqrt{\dfrac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} r^3_{SZ}}} = \sqrt{\mathstrut \left( 39,\hspace{-.1cm}5 \right)^3} \approx 248$$

Okres obiegu Plutona wokół Słońca trwa 248 razy dłużej, niż okres obiegu Ziemi wokół Słońca. Przyjmując, że okres obrotu Ziemi wokół Słońca trwa 365,25 dni (uwzględniamy lata przestępne), rok na Plutonie trwa w przybliżeniu 90582 dni.

Może to Cię również zainteresuje:

Oceń artykuł:

NieprzydatnySłabyPrzeciętnyPrzydatnyBardzo przydatny (2 ocen(-a), średnia ocena: 5,00 na 5)
Loading...

Tagi:

Dodaj komentarz

Pole wymagane
Pole wymagane (e-mail nie będzie widoczny)
Pole wymagane


2 komentarze

  • Maciek

    Nie lepiej skorzystać z mniej skomplikowanego wzoru T^2/R^3= const ? wystarczy podstawic dane i wyciągnąc pierwiastek z (39.5Au)^3

    • Admin

      Pewnie, że byłoby prościej, w końcu wszystkie chwyty dozwolone :). Chciałem jednak pokazać, jak może wyglądać rozwiązanie tego zadania przy skorzystaniu z 'pełnego’ wzoru opisującego trzecie prawo Keplera.