Prawa Keplera – zadanie nr 6

Korzystając z trzeciego prawa Keplera oblicz ile razy rok na Plutonie jest dłuższy od roku ziemskiego. Odległość Plutona od Słońca jest 39,5 razy większa, niż odległość Ziemi od Słońca.

Zgodnie z trzecim prawem Keplera okres obiegu T  planety po orbicie wokół Słońca wynosi:

$$T^2 = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} r^3 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} T = \sqrt{\frac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} r^3}$$

gdzie:
r  – odległość planety od Słońca,
G  – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10^-11 N ⋅ m²/kg²,
M  – masa Słońca.

Oznaczmy odległość Słońce – Ziemia jako r_SZ , z kolei odległość Słońce – Pluton jako r_SP . Zgodnie z treścią zadania r_SP  = 39,5 r_SZ .

Zgodnie z wprowadzonymi oznaczeniami, okres obiegu Ziemi wokół Słońca jest równy:

$$T_Z = \sqrt{\frac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} r^3_{SZ}}$$

a okres obiegu Plutona wynosi:

$$T_P = \sqrt{\frac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} r^3_{SP}} = \sqrt{\frac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \cdot \left( 39,\hspace{-.1cm}5 \right)^3 \hspace{.05cm} r^3_{SZ}}$$

Wielkością szukaną jest stosunek T_P  / T_Z , zatem:

$$\frac{T_P}{T_Z} = \frac{\sqrt{\dfrac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \cdot \left( 39,\hspace{-.1cm}5 \right)^3 \hspace{.05cm} r^3_{SZ}}}{\sqrt{\dfrac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi^2}{G M} \hspace{.05cm} r^3_{SZ}}} = \sqrt{\mathstrut \left( 39,\hspace{-.1cm}5 \right)^3} \approx 248$$

Okres obiegu Plutona wokół Słońca trwa 248 razy dłużej, niż okres obiegu Ziemi wokół Słońca. Przyjmując, że okres obrotu Ziemi wokół Słońca trwa 365,25 dni (uwzględniamy lata przestępne), rok na Plutonie trwa w przybliżeniu 90582 dni.