Grawitacyjna energia potencjalna – zadanie nr 5

25 października 2012

Statek kosmiczny o masie 50 ton po wyłączeniu silników przeleciał w pobliżu Marsa. W pewnej chwili t0  przelatywał na wysokości 500 km nad powierzchnią tej planety. Masa Marsa MM  wynosi 6,4 ⋅ 1023 kg, a jego promień rM  = 3,4 ⋅ 106 m. Oblicz prędkość ucieczki statku kosmicznego, czyli minimalną prędkość początkową jaką statek musiałby uzyskać na podanej wysokości, aby oddalić się z wyłączonymi silnikami na dowolnie dużą odległość od Marsa.

rozwiązanie

Prędkość ucieczki, zgodnie z treścią zadania, to minimalna prędkość z jaką musi poruszać się pewne ciało, aby mogło się ono oddalić na dowolnie dużą odległość od określonego ciała niebieskiego. W naszym przypadku wielkością szukaną jest prędkość ucieczki statku kosmicznego z Marsa, znajdującego się w odległości h  = 500 km od powierzchni tejże planety. Aby obliczyć prędkość ucieczki statku kosmicznego skorzystamy z następującego wyrażenia:

$$V = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} M_M}{r}}$$

gdzie:
G  – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10-11 N ⋅ m2/kg2,
MM  – masa Marsa,
r  – odległość pomiędzy środkiem Marsa a statkiem kosmicznym.

Masę Marsa podano w treści zadania, odległość r  musimy wyznaczyć. Wiemy, że r  to odległość dzieląca środek Marsa od statku kosmicznego, zatem możemy ją wyrazić jako sumę promienia Marsa rM  (odległość od środka Marsa do jego powierzchni) oraz wysokości h, na której nad powierzchnią Marsa znajduje się statek kosmiczny. W związku z tym możemy zapisać, że:

$$r = h + r_M$$

Podstawiając powyższy wzór do wyrażenia na prędkość ucieczki V, dostaniemy:

$$V = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} M_M}{h + r_M}}$$

Po podstawieniu do powyższego wzoru wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy prędkość ucieczki statku kosmicznego równą:

$$V = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 6,\hspace{-.1cm}4 \cdot 10^{23} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{500 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m} + 3,\hspace{-.1cm}4 \cdot 10^6 \hspace{.05cm} \textrm{m}}} = 4679 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$

Bardzo często prędkość ucieczki wyraża się w kilometrach na sekundę, zatem po zamianie jednostek prędkość ta (z dokładnością do jednego miejsca po przecinku) wynosi 4,7 km/s.

Może to Cię również zainteresuje:

Oceń artykuł:

NieprzydatnySłabyPrzeciętnyPrzydatnyBardzo przydatny (1 ocen(-a), średnia ocena: 4,00 na 5)
Loading...

Tagi:

Dodaj komentarz

Pole wymagane
Pole wymagane (e-mail nie będzie widoczny)
Pole wymagane