Energia w ujęciu mechaniki relatywistycznej – zadanie nr 3

Ile musi wynosić pęd cząstki o masie m, aby jej energia całkowita była trzykrotnie większa od jej energii spoczynkowej?

Zgodnie z mechaniką relatywistyczną pęd dowolnego obiektu fizycznego wyraża się poniższym wzorem:

$$p = \frac{m \hspace{.05cm} V}{\sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{V^2}{c^2}}} = \gamma \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} V$$

Masa obiektu jest znana i, zgodnie z treścią zadania, wynosi m. Wielkością szukaną jest zatem wartość współczynnika Lorentza γ  oraz prędkość V.  Aby dowiedzieć się jaką wartość przyjmują te obydwie wielkości skorzystamy z zależności, podanej w treści zadania, zgodnie z którą energia całkowita E  ciała musi być trzykrotnie większa od jego energii spoczynkowej E₀:

$$E = 3 \hspace{.05cm} E_0$$

Po podstawieniu do powyższej relacji wyrażeń na energię całkowitą i energię spoczynkową, otrzymamy:

$$\gamma \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} c^2 = 3 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} c^2$$

Po skróceniu dostaniemy wartość współczynnika γ, równą:

$$\gamma = 3$$

Znając wartość współczynnika γ  możemy obliczyć prędkość V  cząstki. Korzystając z definicji współczynnika Lorentza i przekształcając poniższe równanie względem V, otrzymamy:

$$\frac{1}{\sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{V^2}{c^2}}} = 3 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} V = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \hspace{.05cm} c$$

Ostatecznie, po podstawieniu wszystkich wielkości do wyrażenia na pęd, dostaniemy:

$$p = \gamma \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} V = 3 \cdot m \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} \hspace{.05cm} c = 2 \sqrt{2} \hspace{.1cm} m \hspace{.05cm} c$$