Energia w ujęciu mechaniki relatywistycznej – zadanie nr 2

Oblicz pracę jaką trzeba wykonać, aby spoczywającemu elektronowi nadać prędkość a) 0,1 c , b) 0,95 c. Masa elektronu wynosi 9,1031 ⋅ 10^-31 kg.

Praca jaką należy wykonać, aby spoczywającemu elektronowi nadać określoną prędkość jest równa zmianie jego energii kinetycznej:

$$W = \Delta \hspace{.03cm} E_k = E_{k2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} E_{k1}$$

gdzie:
E_k2 – energia kinetyczna elektronu poruszającego się z prędkością V  (którą należy mu nadać),
E_k1 – energia kinetyczna spoczywającego elektronu, równa oczywiście zero (prędkość ciała pozostającego w spoczynku jest równa zero).

W związku z powyższym wzór na pracę W  możemy przedstawić w następującej postaci:

$$W = E_{k2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 0 = E_{k2} = E_k$$

Następnie zapiszmy wyrażenie na energię kinetyczną ciała, słuszne dla wszystkich fizycznie dozwolonych prędkości:

$$E_k = m \hspace{.05cm} c^2 \left( \gamma \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = m \hspace{.05cm} c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{V^2}{c^2}}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)$$

Masa i prędkość elektronu (którą musimy mu nadać) są podane w treści zadania. Po podstawieniu ich do powyższego wzoru oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy:

Przypadek a)

$$E_k = 9,\hspace{-.1cm}1031 \cdot 10^{-31} \textrm{kg} \cdot 8,\hspace{-.1cm}99 \cdot 10^{16} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}^2}{\textrm{s}^2} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{0,01 \hspace{.05cm} c^2}{c^2}}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = 4,\hspace{-.1cm}12 \cdot 10^{-16} \hspace{.05cm} \textrm{J}$$

Energii tej odpowiada energia w eV o wartości:

$$E_k = \frac{4,\hspace{-.1cm}12 \cdot 10^{-16} \hspace{.05cm} \textrm{J}}{1,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{eV}}} = 2575 \hspace{.05cm} \textrm{eV}$$

Przypadek b)

$$E_k = 9,\hspace{-.1cm}1031 \cdot 10^{-31} \textrm{kg} \cdot 8,\hspace{-.1cm}99 \cdot 10^{16} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}^2}{\textrm{s}^2} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{0,9025 \hspace{.05cm} c^2}{c^2}}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = 1,\hspace{-.1cm}80 \cdot 10^{-13} \hspace{.05cm} \textrm{J}$$

Energii tej odpowiada energia w eV o wartości:

$$E_k = \frac{1,\hspace{-.1cm}80 \cdot 10^{-13} \hspace{.05cm} \textrm{J}}{1,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{eV}}} = 1,\hspace{-.1cm}1 \cdot 10^6 \hspace{.05cm} \textrm{eV} = 1,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{MeV}$$

Zauważ, że ponad dziewięciokrotne zwiększenie prędkości elektronu powoduje ponad czterystukrotny wzrost jego energii kinetycznej (i tym samym pracy jaką trzeba wykonać nad elektronem). Dalsze zwiększanie prędkości elektronu wymaga oczywiście dostarczania coraz to większych ilości energii – np. aby przyspieszyć elektron do prędkości 0,9999999999999999 c  należy wykonać pracę równą 28 TeV (1 TeV = 10¹² eV).