Siła wyporu. Prawo Archimedesa – zadanie nr 8

Kulkę o gęstości 800 kg/m³ zrzucono do wody z wysokości h  = 15 m. Ile wynosi czas opadania kulki w wodzie? Gęstość wody jest znana i wynosi 1000 kg/m³. Opory ruchu pomijamy.

W zadaniu tym możemy wyróżnić dwa zdarzenia: pierwszym z nich jest swobodny spadek kulki z wysokości h  = 15 m do wody, drugim – opadanie kulki w wodzie. W pierwszym przypadku kulka porusza się z przyspieszeniem równym g  = 9,81 m/s² (swobodny spadek), w drugim przypadku – z przyspieszeniem a  (na kulkę znajdującą się w wodzie działa siła ciężkości oraz przeciwnie skierowana do jej ruchu siła wyporu). Aby obliczyć czas opadania kulki w wodzie będziemy więc musieli rozważyć obydwie te sytuacje. Na początku zajmijmy się pierwszą z nich.

W pierwszej fazie ruchu kulka spada swobodnie z wysokości h, zatem równania opisujące jej prędkość oraz przebytą przez nią drogę przedstawiają się następująco:

$$V_k = V_0 + g \hspace{.05cm} t$$

$$h = \tfrac{1}{2} g \hspace{.05cm} t^2 + V_0 \hspace{.05cm} t$$

gdzie:
V_k  – prędkość kulki tuż przed jej zanurzeniem w wodzie,
V₀  – początkowa prędkość kulki,
g  – przyspieszenie ziemskie,
t  – czas spadania,
h  – wysokość, z której kulka została zrzucona (czyli innymi słowy droga przebyta przez kulkę).

Kulka ulega swobodnemu spadkowi, w związku z czym jej prędkość początkowa V₀  jest równa 0 m/s. Wobec tego powyższe równania możemy zapisać jako:

$$V_k = g \hspace{.05cm} t$$

$$h = \tfrac{1}{2} g \hspace{.05cm} t^2$$

W tej fazie ruchu interesuje nas prędkość V_k, z jaką kulka wpadnie do wody. Aby ją obliczyć musimy przekształcić równanie na drogę względem czasu t :

$$h = \tfrac{1}{2} g \hspace{.05cm} t^2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} t = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} h}{g}}$$

Po wstawieniu powyższego równania do wzoru na prędkość, otrzymamy:

$$V_k = g \hspace{.05cm} \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} h}{g}} = \sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} h \hspace{.05cm} g}$$

Znając prędkość, z jaką kulka wpadnie do wody, możemy zająć się opisem drugiej fazy ruchu. Tym razem oprócz siły ciężkości, na kulkę działa również siła wyporu skierowana przeciwnie do jej ruchu. Oznacza to, że kulka będzie poruszać się z pewnym przyspieszeniem a, którego wartość będziemy musieli wyznaczyć. Zauważ, że gęstość kulki jest mniejsza od gęstości wody, w związku z czym po pewnym czasie (który musimy obliczyć) kulka zatrzyma się i będzie poruszać się w przeciwnym kierunku podążając ku powierzchni wody.

Podobnie jak w przypadku pierwszej fazy ruchu na początku zapiszemy równania opisujące prędkość oraz drogę przebytą przez kulkę w wodzie – dla rozróżnienia pierwszej fazy ruchu od drugiej, we wszystkich poniższych wzorach wprowadzono indeks dolny w :

$$V_{kw} = V_{0w} + a \hspace{.05cm} t_w$$

$$s = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} a \hspace{.05cm} t_w^2 + V_{0w} \hspace{.05cm} t_w$$

Napisaliśmy wyżej, że kulka po pewnym czasie zatrzyma się, dlatego V_kw  = 0 m/s. Prędkość V_0w, czyli początkowa prędkość kulki w wodzie odpowiada prędkości V_k, zatem powyższe równania przyjmą następującą postać:

$$V_k = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} a \hspace{.05cm} t_w \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} h \hspace{.05cm} g} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} a \hspace{.05cm} t_w$$

$$s = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} a \hspace{.05cm} t_w^2 + V_k \hspace{.05cm} t_w = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} a \hspace{.05cm} t_w^2 + \sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} h \hspace{.05cm} g} \hspace{.15cm} t_w$$

Przekształcając równanie na prędkość względem t_w, dostaniemy wyrażenie pozwalające obliczyć czas spadania:

$$t_w = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} h \hspace{.05cm} g}}{a}$$

Przyspieszenie a  nie jest oczywiście jest znane, jednak możemy je wyznaczyć korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona oraz z definicji gęstości płynu:

$$m_k \hspace{.05cm} g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_p \hspace{.05cm} g = m_k \hspace{.05cm} a \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} V_k \hspace{.05cm} \rho_k \hspace{.05cm} g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} V_k \hspace{.05cm} \rho_w \hspace{.05cm} g = V_k \hspace{.05cm} \rho_k \hspace{.05cm} a$$

Po przekształceniu powyższego wzoru względem a, otrzymamy:

$$a = \frac{g \left( \rho_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \rho_w \right)}{\rho_k}$$

Podstawiając następnie powyższe wyrażenie do wzoru na czas spadania kulki w wodzie t_w, dostaniemy:

$$t_w = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} h \hspace{.05cm} g} \hspace{.05cm} \rho_k}{g \left( \rho_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \rho_w \right)}$$

i w efekcie:

$$t_w = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \cdot 15 \hspace{.05cm} \textrm{m} \cdot 9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}} \cdot 800 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3}}{9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} \cdot \left( 800 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1000 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3} \right)} = 7 \hspace{.05cm} \textrm{s}$$