Siła wyporu. Prawo Archimedesa – zadanie nr 9

Na krze o powierzchni S  = 2 m² znajdują się rozbitkowie. Ilu rozbitków może znaleźć się na krze, aby kra nie uległa całkowitemu zanurzeniu pod powierzchnią wody? Gęstość wody ρ_w  = 1000 kg/m³, gęstość lodu ρ_l  = 300 kg/m³, grubość lodu d  = 0,5 m, waga jednego rozbitka m_r  = 50 kg.

Zadanie podobne do zadania Siła wyporu. Prawo Archimedesa – zadanie nr 4. Tym razem wielkością szukaną jest maksymalna liczba rozbitków, których obecność na krze nie spowoduje jej całkowitego zanurzenia pod powierzchnią wody.

Załóżmy, że szukamy takiej liczby rozbitków N, dla których zanurzenie kry będzie równe 90% jej całkowitej objętości V_k  tj. objętość wypartej wody V_w  będzie równa V_w  = 0,9 V_k. Korzystając z warunku równowagi siły ciężkości $\vec{F_g}$ i siły wyporu $\vec{F_w}$, dostaniemy:

$$F_g = F_w \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \left( m_k + N \hspace{.05cm} m_r \right) g = m_w \hspace{.05cm} g$$

gdzie:
m_k  – masa kry,
m_r  – waga jednego rozbitka,
g  – przyspieszenie ziemskie,
m_w  – masa wody wypartej przez układ kra – rozbitkowie.

Ponieważ m_k  = V_k ρ_l  oraz m_w  = V_w ρ_w  (skorzystaliśmy ze wzoru na gęstość substancji), zatem:

$$\left( V_k \hspace{.05cm} \rho_l + N \hspace{.05cm} m_r \right) g = V_w \hspace{.05cm} \rho_w \hspace{.05cm} g$$

gdzie:
ρ_l  – gęstość lodu,
ρ_w  – gęstość wody.

Po skróceniu oraz podstawieniu V_w  = 0,9 V_k , mamy:

$$V_k \hspace{.05cm} \rho_l + N \hspace{.05cm} m_r = \tfrac{9}{10} \hspace{.05cm} V_k \hspace{.05cm} \rho_w \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} N \hspace{.05cm} m_r = V_k \left( \tfrac{9}{10} \hspace{.05cm} \rho_w \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \rho_l \right)$$

Zakładając, że kra ma kształt prostopadłościanu, objętość kry wynosi V_k  = S d, gdzie S  to powierzchnia kry, a d  – jej grubość. Po podstawieniu oraz podzieleniu powyższego wyrażenia przez wielkość m_r , otrzymamy:

$$N = \frac{S \hspace{.05cm} d \left( \tfrac{9}{10} \hspace{.05cm} \rho_w \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \rho_l \right)}{m_r}$$

i w konsekwencji:

$$N = \frac{2 \hspace{.05cm} \textrm{m}^2 \cdot \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} \textrm{m} \cdot \left( \tfrac{9}{10} \cdot 1000 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 300 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3} \right)}{50 \hspace{.05cm} \textrm{kg}} = 12$$