Siła wyporu. Prawo Archimedesa – zadanie nr 4

Ile co najmniej musi wynosić pole powierzchni tafli lodu o grubości 0,3 m, pływającej w słodkiej wodzie, aby nie zatonęła po postawieniu na niej samochodu o masie 1100 kg? Gęstość lodu oraz wody jest znana i wynosi odpowiednio 917 kg/m³ oraz 1000 kg/m³.

Zgodnie z prawem Archimedesa na ciało zanurzone w płynie działa skierowana w górę siła wyporu $\vec{F}_w$ o wartości równej ciężarowi płynu wypartego przez to ciało. W zależności od wartości siły ciężkości oraz siły wyporu działających na dowolny obiekt zanurzony np. w wodzie, ciało to opada na dno, unosi się ku górze albo jego położenie w pionie nie ulega zmianie.

Wielkością szukaną w zadaniu jest wartość pola powierzchni S  tafli lodu o grubości równej 0,3 m, aby po umieszczeniu na niej samochodu o masie 1100 kg, nie uległa ona zatonięciu. Zgodnie z teorią, aby ciało zanurzone w płynie nie uległo zatonięciu wartość siły wyporu musi być co najmniej równa sile ciężkości $\vec{F}_g$ :

$$\vec{F}_w = \vec{F}_g$$

Korzystając z definicji siły wyporu oraz siły ciężkości możemy zapisać powyższe wyrażenie w następującej postaci:

$$m_w \hspace{.05cm} g = m_l \hspace{.05cm} g$$

gdzie:
m_w  – masa wody wypartej przez lód,
m_l – masa tafli lodu.

Powyższy wzór dotyczy sytuacji przed umieszczeniem samochodu na powierzchni tafli lodu. W przypadku, w którym samochód zostanie na niej umieszczony, wyrażenie to przyjmie poniższą postać:

$$m_w \hspace{.05cm} g = \left( m_l + m_s \right) g$$

gdzie m_s to masa samochodu.

Zasadniczą różnicą pomiędzy jednym a drugim przypadkiem tj. przed i po umieszczeniu samochodu na tafli lodu, jest ilość wody, jaka musi zostać wyparta, aby zrównoważyć działanie skierowanej w dół siły ciężkości. Ponieważ masa wody oraz tafli lodu nie jest podana w treści zadania musimy wyrazić ją korzystając z definicji gęstości płynów:

$$V_w \hspace{.05cm} \rho_w \hspace{.05cm} g = \left( V_l \hspace{.05cm} \rho_l + m_s \right) g$$

Masa samochodu m_s  jest znana, więc nie musieliśmy przedstawiać jej w oparciu o gęstość oraz objętość samochodu. Wielkościami, których wartości nie są znane są objętość V_w  oraz V_l . Wiemy jednak, że objętość wody wypartej przez taflę lodu musi odpowiadać jej całkowitej objętości (zakładamy, że tafla po umieszczeniu samochodu będzie całkowicie zanurzona w wodzie, przy czym samochód będzie znajdować się nad powierzchnią wody), w związku z czym obydwie objętości możemy wyrazić poprzez pole powierzchni S  oraz grubość d  tafli lodu:

$$S \hspace{.05cm} d \hspace{.05cm} \rho_w \hspace{.05cm} g = \left( S \hspace{.05cm} d \hspace{.05cm} \rho_l + m_s \right) g$$

Otrzymaliśmy więc wyrażenie, w którym jedyną niewiadomą jest pole powierzchni S  tafli lodu. Po skróceniu oraz przekształceniu powyższego wzoru względem S, dostaniemy:

$$S = \frac{m_s}{d \left( \rho_w \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \rho_l \right)} = \frac{1100 \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{0,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} \textrm{m} \cdot \left( 1000 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 917 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3} \right)} \approx 44 \hspace{.05cm} \textrm{m}^2$$