Prawo odbicia i załamania światła – zadanie nr 4

Oblicz kąt pod jakim na szklaną płytkę o współczynniku załamania n_ps  = 1,5 pada promień świetlny, jeżeli kąt zawarty pomiędzy promieniem odbitym i załamanym jest kątem prostym. Współczynnik załamania powietrza n_pow = 1.

Zacznijmy od stworzenia rysunku schematycznego:

Promień świetlny padając pod kątem α  na szklaną płytkę ulega odbiciu od jej powierzchni pod kątem β  oraz załamaniu pod kątem γ . Wielkością szukaną jest kąt α. Aby go wyznaczyć skorzystamy z prawa odbicia i załamania światła. Zgodnie z tym prawem kąt padania jest równy kątowi odbicia światła, w związku z czym α = β. Relację wiążącą kąt padania z kątem załamania opisuje z kolei poniższy wzór (zobacz: Załamanie światła. Prawo załamania światła):

$$n_{pow}\text{sin}\alpha =n_{ps}\text{sin}\gamma$$

Zgodnie z rysunkiem:

$$\beta +\gamma +{90}^{\text{o}}={180}^{\text{o}}⟶\beta +\gamma ={90}^{\text{o}}$$

a więc kąt załamania promienia świetlnego w płytce szklanej wynosi:

$$\gamma ={90}^{\text{o}}–\beta$$

Podstawiając powyższe wyrażenie do równania opisującego prawa załamania światła, otrzymamy:

$$n_{pow}\text{sin}\alpha =n_{ps}\text{sin}\left({90}^{\text{o}}–\beta \right)=n_{ps}\text{cos}\beta$$

(skorzystaliśmy z wzoru redukcyjnego:  $\text{sin}\left({90}^{\text{o}}–\beta \right)=\text{cos}\beta$ )

Wiemy, że α = β, w związku z czym:

$$n_{pow}\text{sin}\alpha =n_{ps}\text{cos}\alpha ⟶\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }=\frac{n_{ps}}{n_{pow}}$$

Korzystając z zależności trygonometrycznej $\text{tg}\alpha =\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }$ oraz podstawiając w miejsce współczynników załamania n_ps  i n_pow  wartości liczbowe, dostaniemy:

$$\text{tg}\alpha =1,5$$

Aby lewa strona powyższego równania była równa 1,5, kąt α  musi zawierać się w przedziale 45^o ÷ 60^o, bo tylko wtedy tg α = 1 ÷ 1,73. Po obliczeniu albo odszukaniu wartości kąta z tablic matematycznych, dostaniemy:

$$\alpha =56,3^{\text{o}}$$