Prawo odbicia i załamania światła – zadanie nr 4

Oblicz kąt pod jakim na szklaną płytkę o współczynniku załamania n_ps  = 1,5 pada promień świetlny, jeżeli kąt zawarty pomiędzy promieniem odbitym i załamanym jest kątem prostym. Współczynnik załamania powietrza n_pow = 1.

Zacznijmy od stworzenia rysunku schematycznego:

Promień świetlny padając pod kątem α  na szklaną płytkę ulega odbiciu od jej powierzchni pod kątem β  oraz załamaniu pod kątem γ . Wielkością szukaną jest kąt α. Aby go wyznaczyć skorzystamy z prawa odbicia i załamania światła. Zgodnie z tym prawem kąt padania jest równy kątowi odbicia światła, w związku z czym α = β. Relację wiążącą kąt padania z kątem załamania opisuje z kolei poniższy wzór (zobacz: Załamanie światła. Prawo załamania światła):

$$n_{pow} \hspace{.1cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \alpha = n_{ps} \hspace{.1cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \gamma$$

Zgodnie z rysunkiem:

$$\beta + \gamma + 90^\textrm{o} = 180^\textrm{o} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \beta + \gamma = 90^\textrm{o}$$

a więc kąt załamania promienia świetlnego w płytce szklanej wynosi:

$$\gamma = 90^\textrm{o} – \beta$$

Podstawiając powyższe wyrażenie do równania opisującego prawa załamania światła, otrzymamy:

$$n_{pow} \hspace{.1cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \alpha = n_{ps} \hspace{.1cm} \textrm{sin} \left( 90^\textrm{o} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \beta \right) = n_{ps} \hspace{.1cm} \textrm{cos} \hspace{.05cm} \beta$$

(skorzystaliśmy z wzoru redukcyjnego:  $\textrm{sin} \left( 90^\textrm{o} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \beta \right) = \textrm{cos} \hspace{.05cm} \beta$ )

Wiemy, że α = β, w związku z czym:

$$n_{pow} \hspace{.1cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \alpha = n_{ps} \hspace{.1cm} \textrm{cos} \hspace{.05cm} \alpha \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{\textrm{sin} \hspace{.05cm} \alpha}{ \textrm{cos} \hspace{.05cm} \alpha} = \frac{n_{ps}}{n_{pow}}$$

Korzystając z zależności trygonometrycznej $\textrm{tg} \hspace{.05cm} \alpha = \frac{\textrm{sin} \hspace{.05cm} \alpha}{\textrm{cos} \hspace{.05cm} \alpha}$ oraz podstawiając w miejsce współczynników załamania n_ps  i n_pow  wartości liczbowe, dostaniemy:

$$\textrm{tg} \hspace{.05cm} \alpha = 1,\hspace{-.1cm}5$$

Aby lewa strona powyższego równania była równa 1,5, kąt α  musi zawierać się w przedziale 45^o ÷ 60^o, bo tylko wtedy tg α = 1 ÷ 1,73. Po obliczeniu albo odszukaniu wartości kąta z tablic matematycznych, dostaniemy:

$$\alpha = 56,\hspace{-.1cm}3^\textrm{o}$$