Grawitacja wewnątrz Ziemi

Gęstość Ziemi zmienia się wraz ze wzrostem odległości od jej środka, wywierając istotny wpływ na siłę grawitacji. Okazuje się, że wartość siły grawitacji działającej na cząstkę przy przemieszczaniu jej od punktu znajdującego się na powierzchni Ziemi do punktu zlokalizowanego w środku Ziemi najpierw ulega stopniowemu wzrostowi, na pewnej głębokości osiąga maksimum, po czym zaczyna stopniowo maleć.

Ziemia jako jednorodna kula

Gdyby założyć, że Ziemia jest jednorodną kulą o gęstości ρ_z , wówczas powyższa sytuacja uległaby znaczącej zmianie. Wyobraźmy sobie, że wzdłuż osi obrotu Ziemi, łączącej biegun północny z południowym, wywiercono otwór, w którym ciało o masie m  może się swobodnie poruszać. Siła grawitacji działająca na to ciało ze strony Ziemi będzie wynosić (zobacz: Prawo powszechnego ciążenia):

$$F = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.05cm} M_z}{r^2}$$

gdzie:
G  – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10^-11 N ⋅ m²/kg²,
m  – masa ciała,
M_z  – masa Ziemi zawarta wewnątrz kuli o promieniu r  (długość promienia r  będzie maleć wraz ze zbliżaniem się ciała do środka Ziemi, dlatego masa fragmentu Ziemi wyznaczonego przez ten promień będzie również stopniowo maleć).

Ponieważ założyliśmy, że Ziemia jest jednorodną kulą, tak więc masę M_z  możemy wyrazić poprzez iloczyn jej gęstości ρ_z  (której wartość, zgodnie z założeniem, jest stała) oraz objętości V_z :

$$M_z = \rho_Z \hspace{.05cm} V_Z = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \rho_Z \hspace{.05cm} r^3}{3}$$

Siła grawitacji wewnątrz Ziemi – wzór

Podstawiając powyższą zależność do wzoru na siłę grawitacji F  otrzymamy wyrażenie pozwalające obliczyć wartość tejże siły w funkcji odległości r  od środka Ziemi:

$$F = G \hspace{.05cm} \frac{m}{r^2} \cdot \frac{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \rho_Z \hspace{.05cm} r^3}{3} = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \rho_Z \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} G}{3} \hspace{.05cm} r$$

Widzimy zatem, że wartość siły grawitacji wraz ze zbliżaniem się ciała do środka Ziemi (przy założeniu, że Ziemia jest jednorodną kulą) będzie stopniowo maleć i po osiągnięciu środka Ziemi jej wartość będzie równa zero. Zauważ, że opis ten różni się od rzeczywistej sytuacji, którą opisaliśmy na wstępie tego artykułu.

Dokonując podstawienia:

$$\frac{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \rho_Z \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} G}{3} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} k$$

otrzymamy wyrażenie opisujące prawo Hooke’a:

$$F = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} k \hspace{.05cm} r$$

Zgodnie z powyższą zależnością ciało poruszające się w tunelu wydrążonym we wnętrzu Ziemi, przebiegającym wzdłuż osi jej obrotu, będzie poruszać się ruchem drgającym (harmonicznym) wokół położenia równowagi tj. środka Ziemi.