Energia w ruchu harmonicznym – zadanie nr 4

Klocek o masie M  znajdujący się na poziomym stole umocowany jest do ściany za pomocą sprężyny o stałej sprężystości k. W pewnej chwili w klocek uderza pocisk o masie m  i prędkości v  i pozostaje w nim. Oblicz prędkość V  klocka po zderzeniu oraz amplitudę powstałych drgań.

Prędkość klocka po zderzeniu z pociskiem wyznaczymy w oparciu o zasadę zachowania pędu. Zgodnie z tą zasadą wartość pędu układu przed zderzeniem musi odpowiadać wartości pędu układu po zderzeniu. Pęd układu przed zderzeniem związany jest z pędem pocisku (klocek spoczywa, a zatem jego pęd jest równy zero) i wynosi:

$$p = m \hspace{.05cm} V$$

gdzie m  i V  to odpowiednio masa oraz prędkość pocisku.

Po zderzeniu pocisk pozostaje w klocku, zatem pęd układu klocek – pocisk po zderzeniu jest równy:

$$p = \left( m + M \right) V$$

gdzie M  i V  to odpowiednio masa oraz prędkość klocka.

Przyrównując stronami powyższe wyrażenia, otrzymamy:

$$m \hspace{.05cm} V = \left( m + M \right) V$$

skąd po przekształceniu względem V, otrzymamy prędkość klocka po zderzeniu równą:

$$V = \frac{m \hspace{.05cm} V}{m + M}$$

Klocek przymocowany jest do ściany za pomocą sprężyny o stałej sprężystości k, dlatego też efektem zderzenia pocisku z klockiem będzie pojawienie się drgań. W momencie zderzenia całkowita energia mechaniczna tego układu jest równa energii kinetycznej klocka, wewnątrz którego znajduje się już pocisk, dlatego:

$$E_c = E_k \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} \left( m + M \right) V^2$$

Po podstawieniu w miejsce V  zależności na prędkość klocka po zderzeniu, którą wcześniej otrzymaliśmy oraz po przekształceniu powyższego wzoru względem A, dostaniemy:

$$A = m \hspace{.05cm} V \cdot \sqrt{\frac{1}{k \left( m + M \right)}}$$