Energia w ruchu harmonicznym – zadanie nr 3

Energia mechaniczna układu klocek – sprężyna wynosi 10 J, amplituda drgań A  = 0,3 m, a maksymalna prędkość V_max  = 2 m/s. Oblicz stałą sprężystości, masę klocka oraz częstotliwość drgań.

Na początku założymy, że układ klocek – sprężyna możemy uważać za liniowy oscylator harmoniczny tzn. że przemieszczenie x  tego układu jest proporcjonalne do działającej siły, ale ma przeciwny znak. Całkowita energia mechaniczna liniowego oscylatora wyraża się poniższym wzorem:

$$E = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2$$

gdzie:
k  – stała sprężystości sprężyny,
A  – amplituda drgań.

Wartość A  oraz E  jest znana, k  jest wielkością szukaną. Po przekształceniu powyższego wzoru względem k, podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

$$k = \frac{2 \hspace{.05cm} E}{A^2} = \frac{2 \cdot 10 \hspace{.05cm} \textrm{J}}{\left( 0,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^2} = 222 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}}$$

Aby wyznaczyć masę m  klocka skorzystamy z wyrażenia:

$$k = m \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} m = \frac{k}{\omega^2}$$

Częstość kołowa ω  nie jest wprawdzie znana, ale wiemy za to ile wynosi maksymalna prędkość V_max  oscylatora, dlatego:

$$V_{max} = \omega \hspace{.05cm} A \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \omega = \frac{V_{max}}{A}$$

Po podstawieniu ω  do wzoru na m, otrzymamy:

$$m = \frac{k}{\omega^2} = \frac{k \hspace{.05cm} A^2}{V_{max}^2} = \frac{222 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}} \cdot \left( 0,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^2}{\left( 2 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \right)^2} = 5 \hspace{.05cm} \textrm{kg}$$

Znając masę klocka możemy obliczyć częstotliwość drgań. W tym celu skorzystamy z poniższego wzoru:

$$T = 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \sqrt{\frac{\mathstrut m}{k}}$$

Ponieważ:

$$T = \frac{1}{f}$$

w związku z czym:

$$\frac{1}{f} = 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \sqrt{\frac{\mathstrut m}{k}} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} f = \frac{1}{2 \hspace{.05cm} \pi} \sqrt{\frac{\mathstrut k}{m}}$$

Po wstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

$$f = \frac{1}{2 \cdot 3,\hspace{-.1cm}14} \cdot \sqrt{\frac{222 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}}}{5 \hspace{.05cm} \textrm{kg}}} = 1,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{Hz}$$