Energia w ruchu harmonicznym – zadanie nr 2

Jaką część całkowitej energii ruchu harmonicznego stanowi energia potencjalna dla wychylenia x  = A /2. Oblicz stosunek energii potencjalnej do energii kinetycznej ciała drgającego ruchem harmonicznym dla wychylenia x  = A /3, gdzie A  jest amplitudą drgań.

Obliczenie jaką część całkowitej energii mechanicznej E  układu drgającego stanowi jego energia potencjalna będzie możliwe tylko wtedy, gdy, zgodnie z poniższym wzorem, będziemy znali wartość energii potencjalnej E_p  i energii kinetycznej E_k  tego układu:

$$\frac{E_p}{E} = \frac{E_p}{E_p + E_k}$$

Wartość energii potencjalnej E_p  dla wychylenia x  = A /2 z łatwością obliczymy. Ponieważ

$$E_p = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} x^2$$

dlatego też:

$$E_p = \frac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} \frac{A^2}{4} = \tfrac{1}{8} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2$$

Następnie zapiszmy wzór na energię kinetyczną ciała w ruchu harmonicznym:

$$E_k = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.05cm} \textrm{sin}^2 \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

Żadna z wielkości obecnych w powyższym wyrażeniu nie jest podana w treści zadania. Znamy jednak wychylenie x  ciała, dlatego też spróbujmy zapisać wzór na E_k  w oparciu o x. W tym celu skorzystamy z tzw. jedynki trygonometrycznej:

$$\textrm{sin}^2 \hspace{.05cm} \alpha + \textrm{cos}^2 \hspace{.05cm} = 1$$

skąd:

$$\textrm{sin}^2 \hspace{.05cm} \alpha = 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \textrm{cos}^2 \hspace{.05cm} \alpha$$

Po skorzystaniu z tej zależności, dostaniemy:

$$E_k = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 \left[ 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \textrm{cos}^2 \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right) \right] = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 \textrm{cos}^2 \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right) = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} x^2$$

Ponieważ x  = A /2, w związku z czym:

$$E_p = \frac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} \frac{A^2}{4} = \frac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{8} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2$$

Po wstawieniu wartości E_p  i E_k  do wzoru $\dfrac{E_p}{E_p + E_k}$, otrzymamy:

$$\frac{\frac{1}{8} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2}{\frac{1}{8} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 + \frac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{8} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2} = \frac{2 \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2}{8 \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2} = \frac{1}{4}$$

Zgodnie z powyższym wzorem dla wychylenia x  = A /2, energia potencjalna E_p  stanowi 1/4 część całkowitej energii mechanicznej E  układu.

Zajmijmy się teraz drugą częścią zadania. Tym razem mamy obliczyć stosunek energii potencjalnej E_p  do energii kinetycznej ciała E_k : $\dfrac{E_p}{E_k}$. Obliczenie energii potencjalnej ciała dla x  = A /3 i tym razem nie sprawi nam żadnego problemu:

$$E_p = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} x^2 = \frac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} \frac{A^2}{9} = \tfrac{1}{18} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2$$

Do obliczenia energii kinetycznej E_k  ciała skorzystamy z wcześniej wyprowadzonego wzoru:

$$E_k = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} x^2 = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{18} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 = \tfrac{8}{18} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2$$

Stosunek energii potencjalnej do energii kinetycznej ciała dla wychylenia x  = A /3 wynosi zatem:

$$\frac{E_p}{E_k} = \frac{\frac{1}{18} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2}{\tfrac{8}{18} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2} = \frac{1}{8}$$