Tożsamości trygonometryczne

12 grudnia 2011

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

$$\textrm{sin} ^2 \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{cos} ^2 \hspace{.03cm} \alpha = 1 \hspace{1cm} \textrm{(jedynka trygonometryczna)}$$

$$\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha = 1$$

$$\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha = \frac{\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha}{\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha} = \frac{1}{\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha}$$

$$\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha = \frac{\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha}{\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha} = \frac{1}{\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha}$$

Funkcje kąta połówkowego

$$\textrm{sin} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\mathstrut 1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha}{2}}$$

$$\textrm{cos} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\mathstrut 1 + \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha}{2}}$$

$$\textrm{tg} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha}{2} = \frac{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha}{\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha}$$

$$\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha}{2} = \frac{\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha}{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha}$$

Funkcje kąta podwojonego

$$\textrm{sin} \hspace{.03cm} 2 \hspace{.05cm} \alpha = 2 \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.03cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha$$

$$\textrm{cos} \hspace{.03cm} 2 \hspace{.05cm} \alpha = \textrm{cos} ^2 \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{sin} ^2 \hspace{.05cm} \alpha = 2 \hspace{.05cm} \textrm{cos} ^2 \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1$$

$$\textrm{tg} \hspace{.03cm} 2 \hspace{.05cm} \alpha = \frac{2 \hspace{.05cm} \textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha}{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{tg} ^2 \hspace{.03cm} \alpha}$$

$$\textrm{ctg} \hspace{.03cm} 2 \hspace{.05cm} \alpha = \frac{\textrm{ctg} ^2 \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1}{2 \hspace{.05cm} \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha}$$

Funkcje sumy i różnicy kątów

$$\textrm{sin} \left( \alpha + \beta \right) = \textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta + \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta$$

$$\textrm{cos} \left( \alpha + \beta \right) = \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta$$

$$\textrm{cos} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right) = \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta + \textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta$$

$$\textrm{tg} \left( \alpha + \beta \right) = \frac{\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{tg} \hspace{.03cm} \beta}{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{tg} \hspace{.03cm} \beta}$$

$$\textrm{tg} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right) = \frac{\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{tg} \hspace{.03cm} \beta}{1 + \textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{tg} \hspace{.03cm} \beta}$$

$$\textrm{ctg} \left( \alpha + \beta \right) = \frac{\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \beta \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1}{\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \beta}$$

$$\textrm{ctg} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right) = \frac{\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \beta + 1}{\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \beta}$$

Suma i różnica funkcji trygonometrycznych

$$\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta = 2 \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha + \beta}{2} \cdot \textrm{cos} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta}{2}$$

$$\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta = 2 \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha + \beta}{2} \cdot \textrm{sin} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta}{2}$$

$$\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta = 2 \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha + \beta}{2} \cdot \textrm{cos} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta}{2}$$

$$\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 2 \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha + \beta}{2} \cdot \textrm{sin} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta}{2}$$

$$\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{tg} \hspace{.03cm} \beta = \frac{\textrm{sin} \left( \alpha + \beta \right)}{\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta}$$

$$\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{tg} \hspace{.03cm} \beta = \frac{\textrm{sin} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right)}{\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta}$$

$$\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \beta = \frac{\textrm{sin} \left( \alpha + \beta \right)}{\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta}$$

$$\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \beta = \frac{\textrm{sin} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right)}{\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta}$$

Iloczyn funkcji trygonometrycznych

$$\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta = \tfrac{1}{2} \left[ \textrm{cos} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right) \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{cos} \left( \alpha + \beta \right) \right]$$

$$\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta = \tfrac{1}{2} \left[ \textrm{cos} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right) + \textrm{cos} \left( \alpha + \beta \right) \right]$$

$$\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta = \tfrac{1}{2} \left[ \textrm{sin} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right) + \textrm{sin} \left( \alpha + \beta \right) \right]$$