Podstawowe tożsamości trygonometryczne
$$\textrm{sin} ^2 \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{cos} ^2 \hspace{.03cm} \alpha = 1 \hspace{1cm} \textrm{(jedynka trygonometryczna)}$$
$$\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha = 1$$
$$\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha = \frac{\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha}{\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha} = \frac{1}{\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha}$$
$$\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha = \frac{\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha}{\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha} = \frac{1}{\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha}$$
Funkcje kąta połówkowego
$$\textrm{sin} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\mathstrut 1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha}{2}}$$
$$\textrm{cos} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\mathstrut 1 + \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha}{2}}$$
$$\textrm{tg} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha}{2} = \frac{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha}{\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha}$$
$$\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha}{2} = \frac{\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha}{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha}$$
Funkcje kąta podwojonego
$$\textrm{sin} \hspace{.03cm} 2 \hspace{.05cm} \alpha = 2 \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.03cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha$$
$$\textrm{cos} \hspace{.03cm} 2 \hspace{.05cm} \alpha = \textrm{cos} ^2 \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{sin} ^2 \hspace{.05cm} \alpha = 2 \hspace{.05cm} \textrm{cos} ^2 \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1$$
$$\textrm{tg} \hspace{.03cm} 2 \hspace{.05cm} \alpha = \frac{2 \hspace{.05cm} \textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha}{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{tg} ^2 \hspace{.03cm} \alpha}$$
$$\textrm{ctg} \hspace{.03cm} 2 \hspace{.05cm} \alpha = \frac{\textrm{ctg} ^2 \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1}{2 \hspace{.05cm} \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha}$$
Funkcje sumy i różnicy kątów
$$\textrm{sin} \left( \alpha + \beta \right) = \textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta + \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta$$
$$\textrm{cos} \left( \alpha + \beta \right) = \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta$$
$$\textrm{cos} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right) = \textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta + \textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta$$
$$\textrm{tg} \left( \alpha + \beta \right) = \frac{\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{tg} \hspace{.03cm} \beta}{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{tg} \hspace{.03cm} \beta}$$
$$\textrm{tg} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right) = \frac{\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{tg} \hspace{.03cm} \beta}{1 + \textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{tg} \hspace{.03cm} \beta}$$
$$\textrm{ctg} \left( \alpha + \beta \right) = \frac{\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \beta \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1}{\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \beta}$$
$$\textrm{ctg} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right) = \frac{\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \beta + 1}{\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \beta}$$
Suma i różnica funkcji trygonometrycznych
$$\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta = 2 \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha + \beta}{2} \cdot \textrm{cos} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta}{2}$$
$$\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta = 2 \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha + \beta}{2} \cdot \textrm{sin} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta}{2}$$
$$\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta = 2 \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha + \beta}{2} \cdot \textrm{cos} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta}{2}$$
$$\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 2 \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha + \beta}{2} \cdot \textrm{sin} \hspace{.03cm} \tfrac{\alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta}{2}$$
$$\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{tg} \hspace{.03cm} \beta = \frac{\textrm{sin} \left( \alpha + \beta \right)}{\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta}$$
$$\textrm{tg} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{tg} \hspace{.03cm} \beta = \frac{\textrm{sin} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right)}{\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta}$$
$$\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha + \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \beta = \frac{\textrm{sin} \left( \alpha + \beta \right)}{\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta}$$
$$\textrm{ctg} \hspace{.03cm} \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{ctg} \hspace{.03cm} \beta = \frac{\textrm{sin} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right)}{\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta}$$
Iloczyn funkcji trygonometrycznych
$$\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{sin} \hspace{.03cm} \beta = \tfrac{1}{2} \left[ \textrm{cos} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right) \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \textrm{cos} \left( \alpha + \beta \right) \right]$$
$$\textrm{cos} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta = \tfrac{1}{2} \left[ \textrm{cos} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right) + \textrm{cos} \left( \alpha + \beta \right) \right]$$
$$\textrm{sin} \hspace{.03cm} \alpha \cdot \textrm{cos} \hspace{.03cm} \beta = \tfrac{1}{2} \left[ \textrm{sin} \left( \alpha \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \beta \right) + \textrm{sin} \left( \alpha + \beta \right) \right]$$