Energia w ruchu harmonicznym – zadanie nr 1

Oblicz energię potencjalną ciała drgającego ruchem harmonicznym dla czasu t  = T /2 od chwili rozpoczęcia ruchu, jeżeli amplituda A  = 0,5 m, częstotliwość f  = 10 Hz, początkowa faza drgań φ  = 0, a masa drgającego ciała m  = 0,01 kg.

Zależność energii potencjalnej sprężystości w funkcji czasu ciała drgającego ruchem harmonicznym opisuje poniższa zależność:

$$E_p (t) = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.05cm} \textrm{cos}^2 \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

gdzie:
k  – stała sprężystości ciała,
A  – amplituda drgań,
ω  – częstość kołowa drgań,
φ  – początkowa faza drgań.

Wartości k  oraz ω  nie są podane w treści zadania. Możemy je jednak wyrazić w oparciu o wielkości, które znamy. Częstość kołową ω  możemy przedstawić jako:

$$\omega = 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} f$$

z kolei stałą sprężystości k  poprzez:

$$k = m \hspace{.05cm} \omega^2 = 4 \hspace{.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} f^2 \hspace{.05cm} m$$

gdzie m  jest masą drgającego obiektu.

Po podstawieniu powyższych zależności do wzoru na E_p (t), otrzymamy:

$$E_p (t) = 2 \hspace{.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} f^2 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.05cm} \textrm{cos}^2 \left( 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} f \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

Zgodnie z treścią zadania mamy znaleźć energię potencjalną ciała dla czasu t  = T /2, zatem:

$$E_p \left( t = \tfrac{T}{2} \right) = 2 \hspace{.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} f^2 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.05cm} \textrm{cos}^2 \left( 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} f \cdot \tfrac{T}{2} + 0 \right) = 2 \hspace{.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} f^2 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.05cm} \textrm{cos}^2 \left( 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} f \cdot \tfrac{1}{2 \hspace{.05cm} f} + 0 \right) = 2 \hspace{.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} f^2 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} A^2$$

Po podstawieniu do powyższego wzoru wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy:

$$E_p \left( t = \tfrac{T}{2} \right) = 2 \cdot \left( 3,\hspace{-.1cm}14 \right)^2 \cdot \left( 10 \hspace{.05cm} \textrm{Hz} \right)^2 \cdot 0,\hspace{-.1cm}01 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot \left( 0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^2 = 4,\hspace{-.1cm}9 \hspace{.05cm} \textrm{J}$$