Energia w ruchu harmonicznym – zadanie nr 1

Oblicz energię potencjalną ciała drgającego ruchem harmonicznym dla czasu t  = T /2 od chwili rozpoczęcia ruchu, jeżeli amplituda A  = 0,5 m, częstotliwość f  = 10 Hz, początkowa faza drgań φ  = 0, a masa drgającego ciała m  = 0,01 kg.

Zależność energii potencjalnej sprężystości w funkcji czasu ciała drgającego ruchem harmonicznym opisuje poniższa zależność:

$$E_p(t)=\frac{1}{2}k{A}^2{\text{cos}}^2(\omega t+\phi )$$

gdzie:
k  – stała sprężystości ciała,
A  – amplituda drgań,
ω  – częstość kołowa drgań,
φ  – początkowa faza drgań.

Wartości k  oraz ω  nie są podane w treści zadania. Możemy je jednak wyrazić w oparciu o wielkości, które znamy. Częstość kołową ω  możemy przedstawić jako:

$$\omega =2\pi f$$

z kolei stałą sprężystości k  poprzez:

$$k=m{\omega }^2=4{\pi }^2{f}^{2}m$$

gdzie m  jest masą drgającego obiektu.

Po podstawieniu powyższych zależności do wzoru na E_p (t), otrzymamy:

$$E_p(t)=2{\pi }^2{f}^{2}m{A}^2{\text{cos}}^2(2\pi ft+\phi )$$

Zgodnie z treścią zadania mamy znaleźć energię potencjalną ciała dla czasu t  = T /2, zatem:

$$E_p(t=\frac{T}{2})=2{\pi }^2{f}^{2}m{A}^2{\text{cos}}^2(2\pi f\cdot \frac{T}{2}+0)=2{\pi }^2{f}^{2}m{A}^2{\text{cos}}^2(2\pi f\cdot \frac{1}{2f}+0)=2{\pi }^2{f}^{2}m{A}^2$$

Po podstawieniu do powyższego wzoru wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy:

$$E_p(t=\frac{T}{2})=2\cdot {(3,14)}^2\cdot {\left(10\text{Hz}\right)}^2\cdot 0,01\text{kg}\cdot {(0,5\text{m})}^2=4,9\text{J}$$