Zderzenie sprężyste ciał

Zderzenie sprężyste to zderzenie, w którym całkowita energia kinetyczna i całkowity pęd układu zderzających się ciał są zachowane. Pomimo, że zderzenia ciał spotykane na co dzień są zderzeniami niesprężystymi, to jednak niektóre z nich możemy w przybliżeniu traktować jako zderzenia sprężyste. Przykładem takiego zderzenia jest czołowe zderzenie dwóch kul bilardowych, podczas którego prawie cała energia kinetyczna jednej kuli zostaje przekazana początkowo nieruchomej drugiej kuli. W artykule tym zajmiemy się opisem zderzeń sprężystych odbywających się w układzie izolowanym tj. układzie, którego masa nie ulega zmianie w czasie, a wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ ciał jest równa zero.

Zderzenie sprężyste dwóch poruszających się ciał tzw. zderzenie z ruchomą tarczą

Na rysunku a) i b) przedstawiono sytuację przed i po czołowym zderzeniu sprężystym dwóch ciał o różnych masach (m₁ > m₂) poruszających się w dodatnim kierunku osi x. Wskutek zderzenia prędkość ciała o masie m₁  zmienia się z ${\overrightarrow{V}}_1$  na  ${\overrightarrow{V}}_1^{\prime }$  $({\overrightarrow{V}}_1>{\overrightarrow{V}}_1^{\prime })$, a prędkość ciała o masie m₂  z ${\overrightarrow{V}}_2$  na  ${\overrightarrow{V}}_2^{\prime }$  $({\overrightarrow{V}}_2<{\overrightarrow{V}}_2^{\prime })$.

Zderzenie ciał zachodzi w układzie izolowanym (patrz wstęp artykułu), dlatego zgodnie z zasadą zachowania pędu całkowity początkowy pęd ciał  ${\overrightarrow{p}}_{cp}$  przed zderzeniem równy jest całkowitemu końcowemu pędowi ciał  ${\overrightarrow{p}}_{ck}$  po zderzeniu:

$${\overrightarrow{p}}_{cp}={\overrightarrow{p}}_{ck}⟶{\overrightarrow{p}}_{1p}+{\overrightarrow{p}}_{2p}={\overrightarrow{p}}_{1k}+{\overrightarrow{p}}_{2k}$$

gdzie ${\overrightarrow{p}}_{1p}$  i  ${\overrightarrow{p}}_{2p}$  oraz  ${\overrightarrow{p}}_{1k}$  i  ${\overrightarrow{p}}_{2k}$  to odpowiednio początkowy i końcowy pęd ciała o masie m₁ i m₂.

Ponieważ ruch ciał przed i po zderzeniu odbywa się tylko w jednym kierunku tj. wzdłuż osi x, dlatego też w powyższym równaniu możemy opuścić strzałki nad wielkościami symbolizujące wektory:

$$p_{1p}+p_{2p}=p_{1k}+p_{2k}$$

Całkowita energia kinetyczna ciał $E_{kcp}$  przed zderzeniem równa jest całkowitej energii kinetycznej ciał $E_{kck}$  po zderzeniu, w związku z czym:

$$E_{kcp}=E_{kck}⟶E_{k1p}+E_{k2p}=E_{k1k}+E_{k2k}$$

gdzie $E_{k1p}$  i  $E_{k2p}$  oraz  $E_{k1k}$  i  $E_{k2k}$  to odpowiednio początkowa i końcowa energia kinetyczna ciała o masie m₁ i m₂.

Ponieważ  $p=mV$, a  $E_k=\frac{1}{2}m{V}^2$, dlatego zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii dla tego układu ciał przyjmują ostatecznie następującą postać:

$$m_1{V}_1+m_2{V}_2=m_1{V}_1^{\prime }+m_2{V}_2^{\prime }(1)$$

oraz:

$$\frac{1}{2}{m}_1{V}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{V}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1{V}_1^{\prime 2}+\frac{1}{2}{m}_2{V}_2^{\prime 2}(2)$$

Gdy znamy masy i prędkości początkowe obydwu ciał możemy w oparciu o równanie (1) i (2) wyznaczyć ich prędkości V’₁  i V’₂  po zderzeniu. Aby tego dokonać przekształcimy równanie (1) i (2) do poniższej postaci:

$$m_1\left(V_1–V_1^{\prime }\right)=m_2\left(V_2^{\prime }–V_2\right)(3)$$

oraz:

$$m_1\left(V_1–V_1^{\prime }\right)(V_1+V_1^{\prime })=m_2\left(V_2^{\prime }–V_2\right)(V_2^{\prime }+V_2)(4)$$

(skorzystaliśmy z tożsamości $a^2–b^2=(a–b)(a+b)$ – dla przykładu:  $m_1(V_1^2–V_1^{\prime 2})=$ $m_1(V_1–V_1^{\prime })(V_1+V_1^{\prime })$).

Dzieląc stronami równania (4) i (3), dostaniemy:

$$V_1+V_1^{\prime }=V_2+V_2^{\prime }$$

Aby wyznaczyć prędkość V’₁  przekształćmy powyższe równanie względem prędkości V’₂ :

$$V_2^{\prime }=V_1+V_1^{\prime }–V_2$$

Prędkość ciał po zderzeniu – wzory

Po podstawieniu wyrażenia na V’₂  do równania (3) oraz wykonaniu odpowiednich przekształceń, dostaniemy:

$$V_1^{\prime }=\frac{m_1–m_2}{m_1+m_2}{V}_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}{V}_2(5)$$

W analogiczny sposób możemy wyznaczyć wzór na prędkość V’₂ :

$$V_2^{\prime }=\frac{2m_1}{m_1+m_2}{V}_1+\frac{m_2–m_1}{m_1+m_2}{V}_2(6)$$

Zderzenie sprężyste ciała z nieruchomą tarczą

Skupmy się teraz na przypadku, w którym ciało o masie m₁  poruszające się z prędkością ${\overrightarrow{V}}_1$ zderza się czołowo i sprężyście ze spoczywającym ciałem o masie m₂, które możemy traktować jak nieruchomą tarczę (rysunek c i d).

Zasada zachowania pędu dla tego układu ciał przybiera następującą postać:

$$m_1{V}_1=m_1{V}_1^{\prime }+m_2{V}_2^{\prime }$$

a zasadę zachowania energii możemy zapisać jako:

$$\frac{1}{2}{m}_1{V}_1^2=\frac{1}{2}{m}_1{V}_1^{\prime 2}+\frac{1}{2}{m}_2{V}_2^{\prime 2}$$

Prędkość ciał po zderzeniu – wzory

Dokonując podobnych przekształceń i podstawień, które przedstawiliśmy analizując zderzenie sprężyste dwóch poruszających się ciał, otrzymamy wzory na prędkość ciał po zderzeniu równe:

$$V_1^{\prime }=\frac{m_1–m_2}{m_1+m_2}{V}_1(7)$$

oraz

$$V_2^{\prime }=\frac{2m_1}{m_1+m_2}{V}_1(8)$$

Zwróć uwagę, że gdy m₁ > m₂  wyrażenie  ${\displaystyle \frac{m_1–m_2}{m_1+m_2}}$  we wzorze (7) jest zawsze dodatnie, a więc ciało o masie m₁  po zderzeniu będzie poruszać się bez zmiany swojego początkowego kierunku ruchu. Gdy m₁ < m₂  wyrażenie  ${\displaystyle \frac{m_1–m_2}{m_1+m_2}}<0$, a więc ciało po zderzeniu będzie poruszać się w kierunku przeciwnym do początkowego (odbije się od nieruchomej tarczy). Wyrażenie  ${\displaystyle \frac{2m_1}{m_1+m_2}}$  występujące we wzorze (8) jest zawsze większe od zera, dlatego ciało o masie m₂  po zderzeniu będzie zawsze poruszać się w kierunku zgodnym z początkowym kierunkiem ruchu uderzającego w nie ciała.

Szczególne przypadki zderzeń sprężystych

1) Zderzenie ciał o jednakowych masach

Gdy zderzające się czołowo i sprężyście ciała mają jednakowe masy tj. m₁ = m₂ = m, równania (7) i (8) sprowadzają się do następującej postaci:

$$V_1^{\prime }=\frac{m–m}{2m}{V}_1=0$$

$$V_2^{\prime }=\frac{2m}{2m}{V}_1=V_1$$

Powyższe wzory odpowiadają sytuacji idealnego zderzenia dwóch kul bilardowych: uderzana bila zatrzymuje się, a początkowo nieruchoma bila (tarcza) uzyskuje prędkość równą początkowej prędkości uderzanej bili (bile „wymieniają się prędkościami”).

W ogólności, gdy dwa ciała o jednakowych masach, poruszające się z prędkością V₁  i V₂, ulegają czołowemu zderzeniu sprężystemu, mamy (zobacz wzór (5) i (6)):

$$V_1^{\prime }=V_2$$

$$V_2^{\prime }=V_1$$

2) Zderzenie z tarczą o bardzo dużej masie

Gdy tarcza posiada bardzo dużą masę tj.  m₁ ≪ m₂  równania (7) i (8) przyjmują poniższą postać:

$$V_1^{\prime }\approx –\frac{m_2}{m_2}{V}_1\approx –V_1$$

$$V_2^{\prime }\approx 2\frac{m_1}{m_2}{V}_1$$

Zgodnie z powyższymi wzorami ciało o masie m₁  zderzając się z ciałem o bardzo dużej masie, po prostu odbije się od niego (znak '-' stojący przed V₁  oznacza zmianę kierunku ruchu), bez zmiany początkowej wartości prędkości V₁. Z kolei ciało o masie m₂  będzie poruszać się w kierunku zgodnym z początkowym kierunkiem ruchu ciała o masie m₁, lecz jego prędkość będzie bardzo mała, ponieważ ${\displaystyle \frac{2m_1}{m_2}}\ll 1$.

3) Zderzenie z tarczą o bardzo małej masie

Gdy ciało wystrzelone w kierunku tarczy posiada bardzo dużą masę tj.  m₁ ≫ m₂  równania (7) i (8) przedstawiają się następująco:

$$V_1^{\prime }\approx \frac{m_1}{m_1}{V}_1\approx V_1$$

$$V_2^{\prime }\approx 2\frac{m_1}{m_1}{V}_1\approx 2V_1$$

Z powyższych równań wynika, że wskutek zderzenia ciało o masie m₁  będzie poruszać się z praktycznie niezmienioną wartością prędkości, z zachowaniem swojego początkowego kierunku ruchu, a ciało o masie m₂  będzie poruszać się z prędkością dwukrotnie większą od prędkości ciała o masie m₁.