Względność czasu – zadanie nr 3

Średni czas życia spoczywającego dodatnio naładowanego pionu (π⁺) wynosi 26,033 ns. Oblicz jaką drogę w układzie odniesienia związanym z laboratorium może przebyć podczas swojego życia π⁺, jeżeli w momencie powstania porusza się (względem laboratorium) z prędkością V  = 0,99992 c .

Obliczenie drogi przebytej przez dodatnio naładowany pion w układzie odniesienia związanym z laboratorium wymaga, zgodnie z poniższym wzorem, znajomości odstępu czasu pomiędzy powstaniem a rozpadem poruszającego się pionu (możemy skorzystać ze wzoru opisującego drogę w ruchu jednostajnym prostoliniowym, ponieważ zakładamy, że prędkość pionu nie będzie ulegać zmianie):

$$s = V \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.05cm} t$$

Aby dowiedzieć się ile wynosi odstęp czasu pomiędzy powstaniem a rozpadem π⁺, poruszającego się z prędkością 0,99992 c  względem laboratorium, będziemy musieli skorzystać z wyrażenia opisującego dylatację czasu. Podejście to jest jak najbardziej prawidłowe, ponieważ czas własny spoczywającego pionu jest także wyznaczany względem laboratorium, tylko w przeciwieństwie do pierwszego przypadku (poruszającego się pionu) wymaga użycia nie dwóch a jednego zegara (zobacz: Względność czasu – zadanie nr 1).

$$\Delta \hspace{.03cm} t = \frac{\Delta \hspace{.03cm} t_0}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{V}{c} \right)^2}}$$

Znając wartość prędkości V  oraz czas własny Δt₀  możemy z łatwością obliczyć czas Δt :

$$\Delta \hspace{.03cm} t = \frac{26,\hspace{-.1cm}033 \hspace{.05cm} \textrm{ns}}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \dfrac{0,\hspace{-.1cm}99992 \hspace{.05cm} c}{c} \right)^2}} = 2058,\hspace{-.1cm}13 \hspace{.05cm} \textrm{ns}$$

Wiedząc ile wynosi czas życia Δt  poruszającego się pionu obliczmy drogę s  przebytą przez π⁺ podczas tego czasu (pamiętajmy o podstawieniu w miejsce c  wartości liczbowej prędkości światła w próżni równej 299792458 m/s):

$$s = 0,\hspace{-.1cm}99992 \hspace{.05cm} \cdot 299792458 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \cdot 2058,\hspace{-.1cm}13 \cdot 10^{-9} \textrm{s} = 617 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Dla porównania sprawdźmy jaki wynik otrzymalibyśmy opierając się na opisie nierelatywistycznym, który daje poprawne wyniki tylko i wyłącznie w przypadku obiektów poruszających się z prędkościami dużo mniejszymi od prędkości światła c. W tym celu w miejsce Δt  podstawmy czas życia Δt₀  spoczywającego pionu:

$$s = 0,\hspace{-.1cm}99992 \hspace{.05cm} \cdot 299792458 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \cdot 26,\hspace{-.1cm}033 \cdot 10^{-9} \textrm{s} = 7,\hspace{-.1cm}8 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Otrzymana wartość jest około 80 razy mniejsza w porównaniu z wartością uzyskaną przy zastosowaniu poprawnego opisu relatywistycznego. Widzimy więc, że w przypadku obiektów poruszających się z prędkością bliską prędkości światła efekty relatywistyczne muszą być koniecznie uwzględniane.