Względność czasu – zadanie nr 4

Statek kosmiczny, którym podróżujesz porusza się z prędkością V  = 0,95 c  względem Ziemi. Po upływie 15-tu lat (według twojego czasu) od chwili, w której minąłeś Ziemię osiągasz odległą gwiazdę i lecisz z powrotem w kierunku naszej planety. Zakładając, że podróż powrotna zajęła ci następne 15 lat, oblicz jak długo trwała twoja podróż według pomiarów wykonanych przez obserwatora na Ziemi (pomijamy wszelkie skutki przyspieszeń działające na ciebie podczas ruszania i hamowania statku kosmicznego).

W zadaniu tym możemy wyróżnić dwa układy odniesienia: pierwszy z nich związany jest z obserwatorem przebywającym na Ziemi, drugi – ze statkiem kosmicznym, którym podróżujesz. Skupmy się najpierw na pierwszej części podróży, w której możemy wyróżnić dwa zdarzenia: początek podróży związany z chwilą minięcia Ziemi przez twój statek kosmiczny oraz dotarcie do odległej gwiazdy. Z treści zadania wiemy, że odstęp czasu (mierzony względem twojego układu odniesienia) dzielący te dwa zdarzenia wynosi 15 lat. Ponieważ zdarzenia te zachodzą w tym samym punkcie w twoim układzie odniesienia, mianowicie na statku kosmicznym, tak więc zmierzony przez ciebie czas podróży jest twoim czasem własnym Δt₀. W związku z tym, spodziewamy się, że czas Δt  mierzony pomiędzy tymi samymi zdarzeniami przez obserwatora znajdującego się na Ziemi będzie większy niż Δt₀. Pamiętamy, że wyrażeniem łączącym te dwa czasy jest wzór opisujący dylatację czasu:

$$\Delta \hspace{.03cm} t = \frac{\Delta \hspace{.03cm} t_0}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{V}{c} \right)^2}}$$

Po podstawieniu do powyższego wzoru wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń otrzymamy czas Δt  zmierzony przez obserwatora znajdującego się na Ziemi dla pierwszej części twojej podróży, równy:

$$\Delta \hspace{.03cm} t = \frac{15 \hspace{.05cm} \textrm{lat}}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \dfrac{0,\hspace{-.1cm}95 \hspace{.05cm} c}{c} \right)^2}} = 48 \hspace{.05cm} \textrm{lat}$$

Wiemy, że druga część podróży – powrót w kierunku naszej planety – trwała dokładnie tyle samo czasu, a więc całkowity czas podróży, który względem twojego układu odniesienia wyniósł 30 lat, względem układu odniesienia związanym z Ziemią trwał 96 lat. Otrzymany przez nas wynik oznacza, że ty postarzałeś się jedynie o 30 lat, z kolei Ziemia aż o 96 lat!