Względność czasu – zadanie nr 1

Jednym z testów dylatacji czasu wynikającego ze szczególnej teorii względności Einsteina są pomiary czasów życia cząstek przyspieszanych w akceleratorach do prędkości bliskich prędkości światła. Wiedząc, że czas życia spoczywającego mionu (jedna z cząstek elementarnych) wynosi 2,2 μs, oblicz o ile razy czas życia mionu ulegnie wydłużeniu jeżeli będzie on poruszał się z prędkością 0,995 c względem układu odniesienia związanym z nieruchomym obserwatorem.

Celem lepszego zobrazowania sytuacji opisanej w treści zadania spójrzmy na poniższy rysunek. Czas życia spoczywającego mionu to czas upływający pomiędzy jego powstaniem a rozpadem na inne cząstki elementarne. Zarówno proces powstania, jak i rozpad mionu zachodzą w tym samym punkcie przestrzeni, dlatego też pomiar odstępu czasu pomiędzy tymi zdarzeniami wymaga użycia przez obserwatora tylko jednego zegara (dla lepszego zobrazowania opisanej sytuacji zarówno mion, jak i zegar przedstawiono dwukrotnie – na początku oraz końcu pomiaru). W związku z tym czas życia mionu zmierzony przez obserwatora jest czasem własnym mionu Δt₀  = 2,2 μs (zobacz: Względność czasu), a układ odniesienia względem którego dokonano pomiaru możemy nazwać układem spoczynkowym mionu.

Zajmijmy się teraz drugim przypadkiem tzn. sprawdźmy ile będzie wynosił odstęp czasu poruszającego się mionu zmierzony przez nieruchomego obserwatora. Ponieważ w tym przypadku proces powstania i rozpadu mionu wystąpi w dwóch różnych miejscach w przestrzeni, wobec tego konieczne będzie użycie dwóch wzajemnie zsynchronizowanych zegarów. Czas zmierzony przez obserwatora oznaczymy przez Δt  i oczekujemy, że będzie on dłuższy od czasu własnego mionu (pamiętamy, że względny ruch zmienia szybkość z jaką płynie czas pomiędzy zdarzeniami). Aby dowiedzieć się ile wynosi odstęp czasu zmierzony przez obserwatora dla mionu poruszającego się z prędkością 0,995 c  skorzystamy z następującego wyrażenia:

$$\Delta \hspace{.03cm} t = \frac{\Delta \hspace{.03cm} t_0}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{V}{c} \right)^2}}$$

Po podstawieniu do powyższego wzoru wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń otrzymamy wartość Δt, równą:

$$\Delta \hspace{.03cm} t = \frac{2,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \mu\textrm{s}}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \dfrac{0,\hspace{-.1cm}995 \hspace{.05cm} c}{c} \right)^2}} = 22 \hspace{.05cm} \mu\textrm{s}$$

Widzimy więc, że czas życia poruszającego się mionu uległ ponad 10-cio krotnemu wydłużeniu w stosunku do czasu życia spoczywającego mionu.