Skrócenie długości – zadanie nr 3

Kosmonauta wyrusza z Ziemi z prędkością 0,95 c  w kierunku gwiazdy Alpha Centauri (gwiazda położona najbliżej Ziemi) położonej w odległości 4,39 lat świetlnych. Oblicz czas podróży na Alpha Centauri zmierzony przez kosmonautę oraz nieruchomego obserwatora znajdującego się na Ziemi.

Obliczenie czasów podróży zmierzonych przez obydwu obserwatorów będzie wymagało powiązania danych zawartych w treści zadania z odpowiednim układem odniesienia. Odległość dzieląca Ziemię od gwiazdy Alpha Centauri wynosząca 4,39 lat świetlnych (1 rok świetlny to odległość jaką przebywa światło w ciągu jednego roku) jest długością spoczynkową L₀ , którą zmierzy obserwator znajdujący się na Ziemi, ponieważ względem jego spoczynkowego układu odniesienia, położenie gwiazdy nie ulega zmianie. W przypadku kosmonauty poruszającego się z prędkością 0,95 c  odległość ta będzie oczywiście inna – konsekwencja efektu relatywistycznego nazywanego skróceniem długości.

W związku z powyższym droga L  przebyta przez kosmonautę będzie równa:

$$L = V \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} t_0$$

gdzie:
V  – prędkość statku kosmicznego kosmonauty,
Δt₀  – czas własny kosmonauty.

Aby obliczyć wartość czasu Δt₀  skorzystamy z wyrażenia opisującego zjawisko skrócenia długości:

$$L = L_0 \hspace{.1cm} \sqrt{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \left( \tfrac{V}{c} \right)^2}$$

Po przekształceniu pierwszego wyrażenia, opisującego drogę przebytą przez kosmonautę, i podstawieniu go następnie w miejsce L  w powyższym wzorze, otrzymamy:

$$\Delta \hspace{.03cm} t_0 = \frac{L}{V} = \frac{L_0 \hspace{.1cm} \sqrt{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \left( \tfrac{V}{c} \right)^2}}{V} = L_0 \hspace{.1cm} \sqrt{\frac{\mathstrut 1}{V^2} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{1}{c^2}}$$

Korzystając z faktu, że 1 rok świetlny (ozn. r. św.) odpowiada w przybliżeniu odległości równej 9,5 ∙ 10¹⁵ m, prędkość światła w próżni c  wynosi 3 ∙ 10⁸ m/s, a jeden rok ziemski to 31536000 s, dostaniemy:

$$\Delta \hspace{.03cm} t_0 = 4,\hspace{-.1cm}39 \hspace{.1cm} \textrm{r. św.} \cdot \sqrt{\frac{1}{\left( 0,\hspace{-.1cm}95 \hspace{.05cm} c \right)^2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{c^2}} = 4,\hspace{-.1cm}39 \hspace{.1cm} \textrm{r. św.} \cdot \sqrt{\frac{\mathstrut 0,\hspace{-.1cm}1}{c^2}} = \frac{4,\hspace{-.1cm}39 \cdot 9,\hspace{-.1cm}5 \cdot 10^{15} \hspace{.05cm} \textrm{m} \cdot 0,\hspace{-.1cm}33}{3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}} = 1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{lat}$$

Aby obliczyć czas Δt  zmierzony przez obserwatora znajdującego się na Ziemi skorzystamy ze wzoru opisującego dylatację czasu:

$$\Delta \hspace{.03cm} t = \frac{\Delta \hspace{.03cm} t_0}{\sqrt{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \left( \tfrac{V}{c} \right)^2}}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń otrzymamy wartość Δt, równą:

$$\Delta \hspace{.03cm} t = \frac{1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{lat}}{\sqrt{1 – \left( \frac{0,95 \hspace{.05cm} c}{c} \right)^2}} = \frac{1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{lat}}{\sqrt{0,\hspace{-.1cm}0975}} = 4,\hspace{-.1cm}8 \hspace{.05cm} \textrm{lat}$$

Czas zmierzony przez nieruchomego obserwatora znajdującego się na Ziemi jest zatem ponad trzy razy dłuższy, niż czas zmierzony przez kosmonautę poruszającego się z prędkością bliską prędkości światła.